Beispiele
f(x)=x3+7x-2f(x)=x3+7x−2 , [0,10][0,10]
Schritt 1
Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn ff eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall [a,b][a,b] ist und uu eine Zahl zwischen f(a)f(a) und f(b)f(b) ist, dann ist ein cc im Intervall [a,b][a,b] enthalten, sodass f(c)=uf(c)=u.
u=f(c)=0u=f(c)=0
Schritt 2
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
(-∞,∞)(−∞,∞)
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
{x|x∈ℝ}
Schritt 3
Schritt 3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.1
0 zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt 0.
f(0)=0+7(0)-2
Schritt 3.1.2
Mutltipliziere 7 mit 0.
f(0)=0+0-2
f(0)=0+0-2
Schritt 3.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Schritt 3.2.1
Addiere 0 und 0.
f(0)=0-2
Schritt 3.2.2
Subtrahiere 2 von 0.
f(0)=-2
f(0)=-2
f(0)=-2
Schritt 4
Schritt 4.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.1.1
Potenziere 10 mit 3.
f(10)=1000+7(10)-2
Schritt 4.1.2
Mutltipliziere 7 mit 10.
f(10)=1000+70-2
f(10)=1000+70-2
Schritt 4.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Schritt 4.2.1
Addiere 1000 und 70.
f(10)=1070-2
Schritt 4.2.2
Subtrahiere 2 von 1070.
f(10)=1068
f(10)=1068
f(10)=1068
Schritt 5
Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.
x≈0.28249374
Schritt 6
Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel f(c)=0 im Intervall [-2,1068] gibt, weil f eine im Intervall [0,10] stetige Funktion ist.
Die Wurzeln im Intervall [0,10] befinden sich bei x≈0.28249374.
Schritt 7
