Beispiele

y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Schritt 1

Setze

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ gleich

0

$0$ .

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe

27

$27$ als

3^{3}

$3^{3}$ um.

x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei

a = x

$a = x$ und

b = 3

$b = 3$ .

(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere

9 x

$9 x$ aus

9 x^{2} + 27 x

$9 x^{2} + 27 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere

9 x

$9 x$ aus

9 x^{2}

$9 x^{2}$ heraus.

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere

9 x

$9 x$ aus

27 x

$27 x$ heraus.

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere

9 x

$9 x$ aus

9 x (x) + 9 x (3)

$9 x (x) + 9 x (3)$ heraus.

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere

x + 3

$x + 3$ aus

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere

x + 3

$x + 3$ aus

9 x (x + 3)

$9 x (x + 3)$ heraus.

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere

x + 3

$x + 3$ aus

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ heraus.

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Schritt 2.1.7

Addiere

- 3 x

$- 3 x$ und

9 x

$9 x$ .

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

6 x = 2 \cdot x \cdot 3

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.1.8.3

Schreibe das Polynom neu.

(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei

a = x

$a = x$ und

b = 3

$b = 3$ .

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

{(x + 3)}^{2} = 0

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze

x + 3

$x + 3$ gleich

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

x = - 3

$x = - 3$ (Vielfachheit von

3

$3$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Vielfachheit von

3

$3$ )

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein