Beispiele
f(x)=x+5f(x)=x+5
Schritt 1
Schreibe f(x)=x+5f(x)=x+5 als Gleichung.
y=x+5y=x+5
Schritt 2
Vertausche die Variablen.
x=y+5x=y+5
Schritt 3
Schritt 3.1
Schreibe die Gleichung als y+5=xy+5=x um.
y+5=xy+5=x
Schritt 3.2
Subtrahiere 55 von beiden Seiten der Gleichung.
y=x-5y=x−5
y=x-5y=x−5
Schritt 4
Ersetze yy durch f-1(x)f−1(x), um die endgültige Lösung anzuzeigen.
f-1(x)=x-5f−1(x)=x−5
Schritt 5
Schritt 5.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x ist und f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x ist.
Schritt 5.2
Berechne f-1(f(x))f−1(f(x)).
Schritt 5.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
f-1(f(x))f−1(f(x))
Schritt 5.2.2
Berechne f-1(x+5)f−1(x+5) durch Einsetzen des Wertes von ff in f-1f−1.
f-1(x+5)=(x+5)-5f−1(x+5)=(x+5)−5
Schritt 5.2.3
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in (x+5)-5(x+5)−5.
Schritt 5.2.3.1
Subtrahiere 55 von 55.
f-1(x+5)=x+0f−1(x+5)=x+0
Schritt 5.2.3.2
Addiere xx und 00.
f-1(x+5)=xf−1(x+5)=x
f-1(x+5)=xf−1(x+5)=x
f-1(x+5)=xf−1(x+5)=x
Schritt 5.3
Berechne f(f-1(x))f(f−1(x)).
Schritt 5.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
f(f-1(x))f(f−1(x))
Schritt 5.3.2
Berechne f(x-5)f(x−5) durch Einsetzen des Wertes von f-1f−1 in ff.
f(x-5)=(x-5)+5f(x−5)=(x−5)+5
Schritt 5.3.3
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in (x-5)+5(x−5)+5.
Schritt 5.3.3.1
Addiere -5−5 und 55.
f(x-5)=x+0f(x−5)=x+0
Schritt 5.3.3.2
Addiere xx und 00.
f(x-5)=xf(x−5)=x
f(x-5)=xf(x−5)=x
f(x-5)=xf(x−5)=x
Schritt 5.4
Da f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x und f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x gleich sind, ist f-1(x)=x-5f−1(x)=x−5 die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von f(x)=x+5f(x)=x+5.
f-1(x)=x-5f−1(x)=x−5
f-1(x)=x-5f−1(x)=x−5
