Beispiele

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 6$ , $x - 3$

Schritt 1

Dividiere $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 6}{x - 3}$ mittels synthetischer Division und prüfe, ob der Rest gleich $0$ ist. Wenn der Rest gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x - 3$ ein Teiler von $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 6$ ist. Wenn der Rest nicht gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x - 3$ kein Teiler von $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 6$ ist.

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Schritt 1.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$

Schritt 1.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$

	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$
		$3$
	$1$

Schritt 1.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$
		$3$
	$1$	$0$

Schritt 1.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 1.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 2$

Schritt 1.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(6)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$1$	$0$	$- 2$

Schritt 1.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$1$	$0$	$- 2$	$0$

Schritt 1.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 0 x - 2$

Schritt 1.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} - 2$

Schritt 2

Der Rest der Division von $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 6}{x - 3}$ ist $0$ , was bedeutet, dass $x - 3$ ein Teiler von $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 6$ ist.

$x - 3$ ist ein Faktor für $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 6$

Schritt 3

Finde alle möglichen Wurzeln für $x^{2} - 2$ .

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 4

Der letzte Faktor ist der einzige Faktor, der aus der synthetischen Division übrig geblieben ist.

$x^{2} - 2$

Schritt 5

Das faktorisierte Polynom ist $(x - 3) (x^{2} - 2)$ .

$(x - 3) (x^{2} - 2)$

Gib DEINE Aufgabe ein