Beispiele

$(2, 6, - 8)$ , $(- 12, - 2, - 1)$ , $(- 2, 8, 9)$ , $(3, 0, 0)$

Schritt 1

Gegeben seien die Punkte $C = (- 2, 8, 9)$ und $D = (3, 0, 0)$ . Finde eine Ebene, die die Punkte $A = (2, 6, - 8)$ und $B = (- 12, - 2, - 1)$ enthält und die parallel zur Geraden $CD$ ist.

$A = (2, 6, - 8)$

$B = (- 12, - 2, - 1)$

$C = (- 2, 8, 9)$

$D = (3, 0, 0)$

Schritt 2

Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte $C$ und $D$ . Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt $C$ von Punkt $D$ subtrahiert werden.

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Schritt 3

Ersetze die $x$ -, $y$ - und $z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor $V_{CD}$ für die Gerade $CD$ zu ermitteln.

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Schritt 4

Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ mithilfe derselben Methode.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Schritt 5

Ersetze die $x$ -, $y$ - und $z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor $V_{AB}$ für die Gerade $AB$ zu ermitteln.

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Schritt 6

Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, mit dem Richtungsvektor $V_{A B}$ . Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden $C D$ verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden $C D$ ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes $V_{A B}$ x $V_{C D}$ durch Ermitteln der Determinante der Matrix $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Schritt 7

Berechne die Determinante.

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Schritt 7.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 7.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Schritt 7.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Schritt 7.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Schritt 7.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Schritt 7.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Schritt 7.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 9$ .

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 8 \cdot 7)$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 56$ .

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $72$ und $56$ .

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

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Schritt 7.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 9$ .

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.2

Subtrahiere $35$ von $126$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

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Schritt 7.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Schritt 7.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $112$ und $40$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Bringe $128$ auf die linke Seite von $i$ .

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $91$ .

$128 i - 91 j + 152 k$

Schritt 8

Löse den Ausdruck $(128) x + (- 91) y + (152) z$ am Punkt $A$ , da er in der Ebene ist. Dies wird angewendet, um die Konstante in der Gleichung für die Ebene zu berechnen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $128$ mit $2$ .

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 91$ mit $6$ .

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $152$ mit $- 8$ .

$256 - 546 - 1216$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $546$ von $256$ .

$- 290 - 1216$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $1216$ von $- 290$ .

$- 1506$

Schritt 9

Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu $(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ ergibt.

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Schritt 10

Mutltipliziere $152$ mit $z$ .

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

Gib DEINE Aufgabe ein