Finite Mathematik Beispiele

4 x - y = - 4

$4 x - y = - 4$ ,

6 x - y = 0

$6 x - y = 0$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

[\begin{matrix} 4 & - 1 6 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 4 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 2

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix

[\begin{matrix} 4 & - 1 6 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe

[\begin{matrix} 4 & - 1 6 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & - 1 6 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

4 \cdot - 1 - 6 \cdot - 1

$4 \cdot - 1 - 6 \cdot - 1$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

- 1

$- 1$ .

- 4 - 6 \cdot - 1

$- 4 - 6 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

- 1

$- 1$ .

- 4 + 6

$- 4 + 6$

- 4 + 6

$- 4 + 6$

Schritt 2.3.2

Addiere

- 4

$- 4$ und

6

$6$ .

2

$2$

2

$2$

D = 2

$D = 2$

Schritt 3

Da die Determinante nicht

0

$0$ ist, kann das System mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.

Schritt 4

Ermittle den Wert von

x

$x$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze die Spalte

1

$1$ der Koeffizientenmatrix, die den

x

$x$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch

[\begin{matrix} - 4 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 1 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 4 \cdot - 1 + 0 \cdot - 1

$- 4 \cdot - 1 + 0 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

4 + 0 \cdot - 1

$4 + 0 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

4 + 0

$4 + 0$

4 + 0

$4 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere

4

$4$ und

0

$0$ .

4

$4$

4

$4$

D_{x} = 4

$D_{x} = 4$

Schritt 4.3

Wende die Formel an, um

x

$x$ zu lösen.

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Setze

2

$2$ für

D

$D$ und

4

$4$ für

D_{x}

$D_{x}$ in die Formel ein.

x = \frac{4}{2}

$x = \frac{4}{2}$

Schritt 4.5

Dividiere

4

$4$ durch

2

$2$ .

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Schritt 5

Ermittle den Wert von

y

$y$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze die Spalte

2

$2$ der Koeffizientenmatrix, die den

y

$y$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch

[\begin{matrix} - 4 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & - 4 6 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & - 4 \\ 6 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 \cdot 0 - 6 \cdot - 4$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$0$ .

$0 - 6 \cdot - 4$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 4$ .

$0 + 24$

Schritt 5.2.2.2

Addiere

$0$ und

$24$ .

$24$

$D_{y} = 24$

Schritt 5.3

Wende die Formel an, um

$y$ zu lösen.

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Setze

$2$ für

$D$ und

$24$ für

$D_{y}$ in die Formel ein.

$y = \frac{24}{2}$

Schritt 5.5

Dividiere

$24$ durch

$2$ .

$y = 12$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = 2$

$y = 12$

Gib DEINE Aufgabe ein