Finite Mathematik Beispiele
xP(x)50.170.280.1130.3180.3xP(x)50.170.280.1130.3180.3
Schritt 1
Schritt 1.1
Eine diskrete Zufallsvariable xx nimmt eine Menge separater Werte (wie 00, 11, 22...) an. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung weist jedem möglichen Wert xx eine Wahrscheinlichkeit P(x)P(x) zu. Für jedes xx nimmt die Wahrscheinlichkeit P(x)P(x) einen Wert im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11 an und die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen xx ist gleich 11.
1. Für alle xx, 0≤P(x)≤10≤P(x)≤1.
2. P(x0)+P(x1)+P(x2)+…+P(xn)=1P(x0)+P(x1)+P(x2)+…+P(xn)=1.
Schritt 1.2
0.10.1 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11, was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.
0.10.1 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11
Schritt 1.3
0.20.2 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11, was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.
0.20.2 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11
Schritt 1.4
0.10.1 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11, was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.
0.10.1 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11
Schritt 1.5
0.30.3 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11, was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.
0.30.3 liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen 00 und 11
Schritt 1.6
Für jedes xx fällt die Wahrscheinlichkeit P(x)P(x) zwischen 00 und 11 einschließlich, womit das erste Merkmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben ist.
0≤P(x)≤10≤P(x)≤1 für alle x-Werte
Schritt 1.7
Berechne die Summe aller Wahrscheinlichkeitswerte für alle möglichen xx-Werte.
0.1+0.2+0.1+0.3+0.30.1+0.2+0.1+0.3+0.3
Schritt 1.8
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen xx-Werte ist 0.1+0.2+0.1+0.3+0.3=10.1+0.2+0.1+0.3+0.3=1.
Schritt 1.8.1
Addiere 0.10.1 und 0.20.2.
0.3+0.1+0.3+0.30.3+0.1+0.3+0.3
Schritt 1.8.2
Addiere 0.30.3 und 0.10.1.
0.4+0.3+0.30.4+0.3+0.3
Schritt 1.8.3
Addiere 0.40.4 und 0.30.3.
0.7+0.30.7+0.3
Schritt 1.8.4
Addiere 0.70.7 und 0.30.3.
11
11
Schritt 1.9
Für jedes xx fällt die Wahrscheinlichkeit P(x)P(x) zwischen 00 und 11 einschließlich. Darüberhinaus ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen xx gleich 11, was bedeutet, dass die Tabelle die beiden Merkmale einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt.
Die Tabelle erfüllt die beiden Merkmale einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Eigenschaft 1: 0≤P(x)≤10≤P(x)≤1 für alle xx-Werte
Eigenschaft 2: 0.1+0.2+0.1+0.3+0.3=10.1+0.2+0.1+0.3+0.3=1
Die Tabelle erfüllt die beiden Merkmale einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Eigenschaft 1: 0≤P(x)≤10≤P(x)≤1 für alle xx-Werte
Eigenschaft 2: 0.1+0.2+0.1+0.3+0.3=10.1+0.2+0.1+0.3+0.3=1
Schritt 2
Der Erwartungswert einer Verteilung ist der Wert, der erwartet wird, wenn die Versuche zur Verteilung unendlich fortgeführt werden könnten. Dies ist gleich dem Produkt aus jedem Wert und seiner diskreten Wahrscheinlichkeit.
5⋅0.1+7⋅0.2+8⋅0.1+13⋅0.3+18⋅0.35⋅0.1+7⋅0.2+8⋅0.1+13⋅0.3+18⋅0.3
Schritt 3
Schritt 3.1
Mutltipliziere 55 mit 0.10.1.
0.5+7⋅0.2+8⋅0.1+13⋅0.3+18⋅0.30.5+7⋅0.2+8⋅0.1+13⋅0.3+18⋅0.3
Schritt 3.2
Mutltipliziere 77 mit 0.20.2.
0.5+1.4+8⋅0.1+13⋅0.3+18⋅0.30.5+1.4+8⋅0.1+13⋅0.3+18⋅0.3
Schritt 3.3
Mutltipliziere 88 mit 0.10.1.
0.5+1.4+0.8+13⋅0.3+18⋅0.30.5+1.4+0.8+13⋅0.3+18⋅0.3
Schritt 3.4
Mutltipliziere 1313 mit 0.30.3.
0.5+1.4+0.8+3.9+18⋅0.30.5+1.4+0.8+3.9+18⋅0.3
Schritt 3.5
Mutltipliziere 1818 mit 0.30.3.
0.5+1.4+0.8+3.9+5.40.5+1.4+0.8+3.9+5.4
0.5+1.4+0.8+3.9+5.40.5+1.4+0.8+3.9+5.4
Schritt 4
Schritt 4.1
Addiere 0.50.5 und 1.41.4.
1.9+0.8+3.9+5.41.9+0.8+3.9+5.4
Schritt 4.2
Addiere 1.91.9 und 0.80.8.
2.7+3.9+5.42.7+3.9+5.4
Schritt 4.3
Addiere 2.72.7 und 3.93.9.
6.6+5.46.6+5.4
Schritt 4.4
Addiere 6.66.6 und 5.45.4.
1212
1212
Schritt 5
Die Standardabweichung einer Verteilung ist ein Maß für die Streuung und ist gleich der Quadratwurzel aus der Varianz.
s=√∑(x-u)2⋅(P(x))s=√∑(x−u)2⋅(P(x))
Schritt 6
Setze die bekannten Werte ein.
√(5-(12))2⋅0.1+(7-(12))2⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√(5−(12))2⋅0.1+(7−(12))2⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7
Schritt 7.1
Mutltipliziere -1−1 mit 1212.
√(5-12)2⋅0.1+(7-(12))2⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√(5−12)2⋅0.1+(7−(12))2⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.2
Subtrahiere 1212 von 55.
√(-7)2⋅0.1+(7-(12))2⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√(−7)2⋅0.1+(7−(12))2⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.3
Potenziere -7−7 mit 22.
√49⋅0.1+(7-(12))2⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√49⋅0.1+(7−(12))2⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.4
Mutltipliziere 4949 mit 0.10.1.
√4.9+(7-(12))2⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√4.9+(7−(12))2⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.5
Mutltipliziere -1−1 mit 1212.
√4.9+(7-12)2⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√4.9+(7−12)2⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.6
Subtrahiere 1212 von 77.
√4.9+(-5)2⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√4.9+(−5)2⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.7
Potenziere -5−5 mit 22.
√4.9+25⋅0.2+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√4.9+25⋅0.2+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.8
Mutltipliziere 2525 mit 0.20.2.
√4.9+5+(8-(12))2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√4.9+5+(8−(12))2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.9
Mutltipliziere -1−1 mit 1212.
√4.9+5+(8-12)2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3√4.9+5+(8−12)2⋅0.1+(13−(12))2⋅0.3+(18−(12))2⋅0.3
Schritt 7.10
Subtrahiere 12 von 8.
√4.9+5+(-4)2⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3
Schritt 7.11
Potenziere -4 mit 2.
√4.9+5+16⋅0.1+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3
Schritt 7.12
Mutltipliziere 16 mit 0.1.
√4.9+5+1.6+(13-(12))2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3
Schritt 7.13
Mutltipliziere -1 mit 12.
√4.9+5+1.6+(13-12)2⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3
Schritt 7.14
Subtrahiere 12 von 13.
√4.9+5+1.6+12⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3
Schritt 7.15
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
√4.9+5+1.6+1⋅0.3+(18-(12))2⋅0.3
Schritt 7.16
Mutltipliziere 0.3 mit 1.
√4.9+5+1.6+0.3+(18-(12))2⋅0.3
Schritt 7.17
Mutltipliziere -1 mit 12.
√4.9+5+1.6+0.3+(18-12)2⋅0.3
Schritt 7.18
Subtrahiere 12 von 18.
√4.9+5+1.6+0.3+62⋅0.3
Schritt 7.19
Potenziere 6 mit 2.
√4.9+5+1.6+0.3+36⋅0.3
Schritt 7.20
Mutltipliziere 36 mit 0.3.
√4.9+5+1.6+0.3+10.8
Schritt 7.21
Addiere 4.9 und 5.
√9.9+1.6+0.3+10.8
Schritt 7.22
Addiere 9.9 und 1.6.
√11.5+0.3+10.8
Schritt 7.23
Addiere 11.5 und 0.3.
√11.8+10.8
Schritt 7.24
Addiere 11.8 und 10.8.
√22.6
√22.6
Schritt 8
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
√22.6
Dezimalform:
4.75394572…