Finite Mathematik Beispiele

[\begin{matrix} 8 & 9 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 8 & 9 \\ 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Die Umkehrfunktion einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei

a d - b c

$a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

8 \cdot 0 - 2 \cdot 9

$8 \cdot 0 - 2 \cdot 9$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

8

$8$ mit

0

$0$ .

0 - 2 \cdot 9

$0 - 2 \cdot 9$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

9

$9$ .

0 - 18

$0 - 18$

0 - 18

$0 - 18$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

18

$18$ von

0

$0$ .

- 18

$- 18$

- 18

$- 18$

- 18

$- 18$

Schritt 3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

\frac{1}{- 18} [\begin{matrix} 0 & - 9 - 2 & 8 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 18} [\begin{array}{c} 0 & - 9 \\ - 2 & 8 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

- \frac{1}{18} [\begin{matrix} 0 & - 9 - 2 & 8 \end{matrix}]

$- \frac{1}{18} [\begin{array}{c} 0 & - 9 \\ - 2 & 8 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere

- \frac{1}{18}

$- \frac{1}{18}$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} - \frac{1}{18} \cdot 0 & - \frac{1}{18} \cdot - 9 - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{18} \cdot 0 & - \frac{1}{18} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Multipliziere

- \frac{1}{18} \cdot 0

$- \frac{1}{18} \cdot 0$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 (\frac{1}{18}) & - \frac{1}{18} \cdot - 9 - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 (\frac{1}{18}) & - \frac{1}{18} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

\frac{1}{18}

$\frac{1}{18}$ .

[\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{18} \cdot - 9 - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{18} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

[\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{18} \cdot - 9 - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{18} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

9

$9$ .

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Schritt 7.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{1}{18}

$- \frac{1}{18}$ in den Zähler.

[\begin{matrix} 0 & \frac{- 1}{18} \cdot - 9 - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{18} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere

9

$9$ aus

18

$18$ heraus.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 0 & \frac{- 1}{9 (2)} \cdot - 9 - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{9 (2)} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere

9

$9$ aus

- 9

$- 9$ heraus.

[\begin{matrix} 0 & \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.2.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.3

Kombiniere

$\frac{- 1}{2}$ und

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- - 1}{2} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{18}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{18} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere

$2$ aus

$18$ heraus.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 (9)} \cdot - 2 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.5.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.6

Kombiniere

$\frac{- 1}{9}$ und

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{- - 1}{9} & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.7

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & - \frac{1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 7.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{18}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{- 1}{18} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.8.2

Faktorisiere

$2$ aus

$18$ heraus.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{- 1}{2 (9)} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.8.3

Faktorisiere

$2$ aus

$8$ heraus.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{- 1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Schritt 7.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{- 1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Schritt 7.8.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{- 1}{9} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.9

Kombiniere

$\frac{- 1}{9}$ und

$4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{- 1 \cdot 4}{9} \end{array}]$

Schritt 7.10

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & \frac{- 4}{9} \end{array}]$

Schritt 7.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{9} & - \frac{4}{9} \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein