Finite Mathematik Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 3 & 1 & - 3 1 & - 2 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Schritt 1

Schreibe die Matrix als Produkt einer unteren Dreiecksmatrix und einer oberen Dreiecksmatrix.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 3 & 1 & - 3 1 & - 2 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Schritt 2

Multipliziere

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

3 \times 3

$3 \times 3$ und die zweite Matrix ist

3 \times 3

$3 \times 3$ .

Schritt 2.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} + 0 \cdot 0 & 1 u_{13} + 0 u_{23} + 0 u_{33} l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} + 0 \cdot 0 & l_{21} u_{13} + 1 u_{23} + 0 u_{33} l_{31} u_{11} + l_{32} \cdot 0 + 1 \cdot 0 & l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} + 1 \cdot 0 & l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + 1 u_{33} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 3 & 1 & - 3 1 & - 2 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} + 0 \cdot 0 & 1 u_{13} + 0 u_{23} + 0 u_{33} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} + 0 \cdot 0 & l_{21} u_{13} + 1 u_{23} + 0 u_{33} \\ l_{31} u_{11} + l_{32} \cdot 0 + 1 \cdot 0 & l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} + 1 \cdot 0 & l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + 1 u_{33} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Schritt 2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} & l_{21} u_{13} + u_{23} l_{31} u_{11} & l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} & l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 3 & 1 & - 3 1 & - 2 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} & l_{21} u_{13} + u_{23} \\ l_{31} u_{11} & l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} & l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 5 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} & l_{21} u_{13} + u_{23} l_{31} u_{11} & l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} & l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 3 & 1 & - 3 1 & - 2 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

Schritt 3

Löse.

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Schritt 3.1

Schreibe als lineares Gleichungssystem.

u_{11} = 1

$u_{11} = 1$

u_{12} = 1

$u_{12} = 1$

u_{13} = 1

$u_{13} = 1$

l_{21} u_{11} = 3

$l_{21} u_{11} = 3$

l_{21} u_{12} + u_{22} = 1

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

l_{31} u_{11} = 1

$l_{31} u_{11} = 1$

l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

Schritt 3.2

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle Vorkommen von

u_{11}

$u_{11}$ durch

1

$1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Ersetze alle

$u_{11}$ in

$l_{21} u_{11} = 3$ durch

$1$ .

$l_{21} \cdot 1 = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{11} = 1$

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$l_{21}$ mit

$1$ .

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{11} = 1$

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{11} = 1$

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle

$u_{11}$ in

$l_{31} u_{11} = 1$ durch

$1$ .

$l_{31} \cdot 1 = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere

$l_{31}$ mit

$1$ .

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

Schritt 3.2.2

Ersetze alle Vorkommen von

$l_{31}$ durch

$1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Ersetze alle

$l_{31}$ in

$l_{31} u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$ durch

$1$ .

$1 \cdot u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Mutltipliziere

$u_{12}$ mit

$1$ .

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle

$l_{31}$ in

$l_{31} u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$ durch

$1$ .

$1 \cdot u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

Schritt 3.2.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.4.1

Mutltipliziere

$u_{13}$ mit

$1$ .

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle Vorkommen von

$l_{21}$ durch

$3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Ersetze alle

$l_{21}$ in

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 1$ durch

$3$ .

$3 \cdot u_{12} + u_{22} = 1$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$u_{12}$ .

$3 u_{12} + u_{22} = 1$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

$3 u_{12} + u_{22} = 1$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle

$l_{21}$ in

$l_{21} u_{13} + u_{23} = - 3$ durch

$3$ .

$3 \cdot u_{13} + u_{23} = - 3$

$3 u_{12} + u_{22} = 1$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.4.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$u_{13}$ .

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$3 u_{12} + u_{22} = 1$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$3 u_{12} + u_{22} = 1$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$3 u_{12} + u_{22} = 1$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.4

Ersetze alle Vorkommen von

$u_{12}$ durch

$1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.4.1

Ersetze alle

$u_{12}$ in

$3 u_{12} + u_{22} = 1$ durch

$1$ .

$3 (1) + u_{22} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$3 + u_{22} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$3 + u_{22} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle

$u_{12}$ in

$u_{12} + l_{32} u_{22} = - 2$ durch

$1$ .

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$3 + u_{22} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.4.1

Entferne die Klammern.

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$3 + u_{22} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$3 + u_{22} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$3 + u_{22} = 1$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.5

Ersetze alle Vorkommen von

$u_{13}$ durch

$1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.5.1

Bringe alle Terme, die nicht

$u_{22}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.5.1.1

Subtrahiere

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u_{22} = 1 - 3$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.5.1.2

Subtrahiere

$3$ von

$1$ .

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze alle

$u_{13}$ in

$3 u_{13} + u_{23} = - 3$ durch

$1$ .

$3 (1) + u_{23} = - 3$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.3.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$3 + u_{23} = - 3$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$3 + u_{23} = - 3$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.5.4

Ersetze alle

$u_{13}$ in

$u_{13} + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$ durch

$1$ .

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$3 + u_{23} = - 3$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.5.5

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.5.1

Entferne die Klammern.

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$3 + u_{23} = - 3$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$3 + u_{23} = - 3$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$3 + u_{23} = - 3$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.6

Ersetze alle Vorkommen von

$u_{22}$ durch

$- 2$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.1

Bringe alle Terme, die nicht

$u_{23}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.1.1

Subtrahiere

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u_{23} = - 3 - 3$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.6.1.2

Subtrahiere

$3$ von

$- 3$ .

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze alle

$u_{22}$ in

$1 + l_{32} u_{22} = - 2$ durch

$- 2$ .

$1 + l_{32} \cdot - 2 = - 2$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.6.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.3.1

Bringe

$- 2$ auf die linke Seite von

$l_{32}$ .

$1 - 2 l_{32} = - 2$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 - 2 l_{32} = - 2$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 - 2 l_{32} = - 2$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7

Ersetze alle Vorkommen von

$u_{23}$ durch

$- 6$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.1

Bringe alle Terme, die nicht

$l_{32}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.1.1

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 l_{32} = - 2 - 1$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7.1.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 2$ .

$- 2 l_{32} = - 3$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$- 2 l_{32} = - 3$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7.2

Teile jeden Ausdruck in

$- 2 l_{32} = - 3$ durch

$- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 2 l_{32} = - 3$ durch

$- 2$ .

$\frac{- 2 l_{32}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 l_{32}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7.2.2.1.2

Dividiere

$l_{32}$ durch

$1$ .

$l_{32} = \frac{- 3}{- 2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{32} = \frac{- 3}{- 2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{32} = \frac{- 3}{- 2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7.3

Ersetze alle

$u_{23}$ in

$1 + l_{32} u_{23} + u_{33} = - 5$ durch

$- 6$ .

$1 + l_{32} \cdot - 6 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.7.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.4.1

Bringe

$- 6$ auf die linke Seite von

$l_{32}$ .

$1 - 6 l_{32} + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 - 6 l_{32} + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 - 6 l_{32} + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.8

Ersetze alle Vorkommen von

$l_{32}$ durch

$\frac{3}{2}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.8.1

Ersetze alle

$l_{32}$ in

$1 - 6 l_{32} + u_{33} = - 5$ durch

$\frac{3}{2}$ .

$1 - 6 (\frac{3}{2}) + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.8.2.1

Vereinfache

$1 - 6 (\frac{3}{2}) + u_{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.8.2.1.1.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 6$ heraus.

$1 + 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.8.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.8.2.1.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - 3 \cdot 3 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 - 3 \cdot 3 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.8.2.1.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$3$ .

$1 - 9 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$1 - 9 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.8.2.1.2

Subtrahiere

$9$ von

$1$ .

$- 8 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$- 8 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$- 8 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$- 8 + u_{33} = - 5$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.9

Bringe alle Terme, die nicht

$u_{33}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.9.1

Addiere

$8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u_{33} = - 5 + 8$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.9.2

Addiere

$- 5$ und

$8$ .

$u_{33} = 3$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

$u_{33} = 3$

$l_{32} = \frac{3}{2}$

$u_{23} = - 6$

$u_{22} = - 2$

$l_{31} = 1$

$l_{21} = 3$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = 1$

$u_{13} = 1$

Schritt 3.2.10

Löse das Gleichungssystem.

$u_{33} = 3 l_{32} = \frac{3}{2} u_{23} = - 6 u_{22} = - 2 l_{31} = 1 l_{21} = 3 u_{11} = 1 u_{12} = 1 u_{13} = 1$

Schritt 3.2.11

Liste alle Lösungen auf.

$u_{33} = 3, l_{32} = \frac{3}{2}, u_{23} = - 6, u_{22} = - 2, l_{31} = 1, l_{21} = 3, u_{11} = 1, u_{12} = 1, u_{13} = 1$

Schritt 4

Setze die gelösten Werte ein.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 5 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & \frac{3}{2} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & - 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein