Finite Mathematik Beispiele

[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für

a_{21}

$a_{21}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element

a_{21}

$a_{21}$ mit seinen Kofaktoren.

0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für

a_{31}

$a_{31}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element

a_{31}

$a_{31}$ mit seinen Kofaktoren.

3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne

| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

2 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

2 (6 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 (6 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

2

$2$ .

2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere

8

$8$ von

6

$6$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 3 \cdot 2)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

2

$2$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

6

$6$ von

2

$2$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 2

$- 2$ .

- 4 + 0 + 3 \cdot - 4

$- 4 + 0 + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 4

$- 4$ .

- 4 + 0 - 12

$- 4 + 0 - 12$

- 4 + 0 - 12

$- 4 + 0 - 12$

Schritt 5.2

Addiere

- 4

$- 4$ und

0

$0$ .

- 4 - 12

$- 4 - 12$

Schritt 5.3

Subtrahiere

12

$12$ von

- 4

$- 4$ .

- 16

$- 16$

- 16

$- 16$

Gib DEINE Aufgabe ein