Finite Mathematik Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 3 & 7 & - 1 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 & 7 & - 1 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Schritt 1.2

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 1.2.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Schritt 1.3

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Schritt 1.4

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 1.4.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden

1

$1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen:

a_{11}

$a_{11}$ und

a_{22}

$a_{22}$

Pivot-Spalten:

1

$1$ und

2

$2$

Schritt 3

Die Basis für den Spaltenraum einer Matrix wird durch Berücksichtigung der entsprechenden Pivot-Spalten in der ursprünglichen Matrix gebildet. Die Dimension von

Col (A)

$Col (A)$ ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis für

Col (A)

$Col (A)$ .

Basis von

Col (A)

$Col (A)$ :

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 471 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ 1 \end{array}]}$

Dimension von

Col (A)

$Col (A)$ :

2

$2$

Gib DEINE Aufgabe ein