Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 5}{2 (5)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $2 \cdot 5$ heraus.

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{1}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Schritt 3.2.4.3

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein