Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$

Schritt 1

Setze

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ gleich

$0$ .

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere

$x$ aus

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere

$x$ aus

$3 x^{3}$ heraus.

$x (3 x^{2}) - 10 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere

$x$ aus

$- 10 x^{2}$ heraus.

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + 3 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere

$x$ aus

$3 x$ heraus.

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere

$x$ aus

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x)$ heraus.

$x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere

$x$ aus

$x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3$ heraus.

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

$a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ und deren Summe gleich

$b = - 10$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere

$- 10$ aus

$- 10 x$ heraus.

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe

$- 10$ um als

$- 1$ plus

$- 9$

$x (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

$3 x - 1$ .

$x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze

$x$ gleich

$0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze

$3 x - 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze

$3 x - 1$ gleich

$0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse

$3 x - 1 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$3 x = 1$ durch

$3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$3 x = 1$ durch

$3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Setze

$x - 3$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze

$x - 3$ gleich

$0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{3}, 3$

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein