Analysis Beispiele

\int \sqrt{9 - x^{2}} d x

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei

x = 3 \sin (t)

$x = 3 \sin (t)$ , mit

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist

d x = 3 \cos (t) d t

$d x = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

3 \cos (t)

$3 \cos (t)$ positiv ist.

\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache

\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf

3 \sin (t)

$3 \sin (t)$ an.

\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere

9

$9$ mit

- 1

$- 1$ .

\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere

9

$9$ aus

9

$9$ heraus.

\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere

9

$9$ aus

- 9 \sin^{2} (t)

$- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere

9

$9$ aus

9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe

9 \cos^{2} (t)

$9 \cos^{2} (t)$ als

{(3 \cos (t))}^{2}

${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

\int 9 \cos (t) \cos (t) d t

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere

\cos (t)

$\cos (t)$ mit

1

$1$ .

\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere

\cos (t)

$\cos (t)$ mit

1

$1$ .

\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\int 9 \cos^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

\int 9 \cos^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

\int 9 \cos^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

9

$9$ konstant bezüglich

t

$t$ ist, ziehe

9

$9$ aus dem Integral.

9 \int \cos^{2} (t) d t

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um

\cos^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ als

\frac{1 + \cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

t

$t$ ist, ziehe

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

9

$9$ .

\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei

u = 2 t

$u = 2 t$ . Dann ist

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , folglich

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

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Schritt 9.1

Es sei

u = 2 t

$u = 2 t$ . Ermittle

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

2

$2$ konstant bezüglich

t

$t$ ist, ist die Ableitung von

2 t

$2 t$ nach

t

$t$ gleich

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere

\cos (u)

$\cos (u)$ und

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von

\cos (u)

$\cos (u)$ nach

u

$u$ ist

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle

t

$t$ durch

\arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle

u

$u$ durch

2 t

$2 t$ .

\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle

t

$t$ durch

\arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere

\frac{9}{2}

$\frac{9}{2}$ und

\arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Schritt 15.4

Multipliziere

\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere

\frac{9}{2}

$\frac{9}{2}$ mit

\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

Gib DEINE Aufgabe ein