Analysis Beispiele

\int x cos (3 x) d x

$\int x \cos (3 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , mit

u = x

$u = x$ und

d v = cos (3 x)

$d v = \cos (3 x)$ .

x (\frac{1}{3} sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ und

sin (3 x)

$\sin (3 x)$ .

x \frac{sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere

x

$x$ und

\frac{sin (3 x)}{3}

$\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

\frac{x sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

\frac{x sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 3

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

\frac{x sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int sin (3 x) d x)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Schritt 4

Sei

$u = 3 x$ . Dann ist

$d u = 3 d x$ , folglich

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

$u$ und

$d$

$u$ .

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Schritt 4.1

Es sei

$u = 3 x$ . Ermittle

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere

$3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 4.1.2

$3$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$3 x$ nach

$x$ gleich

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

$u$ und

$d u$ neu.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere

$\sin (u)$ und

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 6

$\frac{1}{3}$ konstant bezüglich

$u$ ist, ziehe

$\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{3}$ mit

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von

$\sin (u)$ nach

$u$ ist

$- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Schritt 9

Schreibe

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ als

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ um.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Schritt 10

Ersetze alle

$u$ durch

$3 x$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

Gib DEINE Aufgabe ein