Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 1

Dividiere

$x^{2} + 1$ durch

$x^{2} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

$0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	+	$0$	-	$1$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$x^{2} + 0 - 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$
									+	$2$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 4

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ziehe

$2$ aus dem Integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 5

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere den Bruch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 5.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = x$ und

$b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein

$A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Schritt 5.1.3

$B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich

$(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.7.1.2

Dividiere

$(A) (x - 1)$ durch

$1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.7.3

Bringe

$- 1$ auf die linke Seite von

$A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.7.4

Schreibe

$- 1 A$ als

$- A$ um.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.1.7.5.2

Dividiere

$(B) (x + 1)$ durch

$1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Schritt 5.1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Schritt 5.1.7.7

Mutltipliziere

$B$ mit

$1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Schritt 5.1.8

Bewege

$- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Schritt 5.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 5.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von

$x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 5.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die

$x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A + B$

Schritt 5.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 5.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 5.3.1

Löse in

$0 = A + B$ nach

$A$ auf.

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe die Gleichung als

$A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 5.3.1.2

Subtrahiere

$B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 5.3.2

Ersetze alle Vorkommen von

$A$ durch

$- B$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Ersetze alle

$A$ in

$1 = - 1 A + B$ durch

$- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache

$- 1 (- B) + B$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1.1

Multipliziere

$- 1 (- B)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Schritt 5.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere

$B$ mit

$1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Addiere

$B$ und

$B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Schritt 5.3.3

Löse in

$1 = 2 B$ nach

$B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Schreibe die Gleichung als

$2 B = 1$ um.

$2 B = 1$

$A = - B$

Schritt 5.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in

$2 B = 1$ durch

$2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 B = 1$ durch

$2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Dividiere

$B$ durch

$1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 5.3.4

Ersetze alle Vorkommen von

$B$ durch

$\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Ersetze alle

$B$ in

$A = - B$ durch

$\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Multipliziere

$- 1$ mit

$\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ durch die Werte, die für

$A$ und

$B$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{x + 1}$ mit

$\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 5.5.3

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 5.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere

$\frac{1}{2}$ mit

$\frac{1}{x - 1}$ .

$x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C + 2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 7

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ziehe

$- 1$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 8

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

$x$ ist, ziehe

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 9

Sei

$u_{1} = x + 1$ . Dann ist

$d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von

$u_{1}$ und

$d$

$u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Es sei

$u_{1} = x + 1$ . Ermittle

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Differenziere

$x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x + 1$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.4

$1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$1 + 0$

Schritt 9.1.5

Addiere

$1$ und

$0$ .

$1$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

$u_{1}$ und

$d u_{1}$ neu.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 10

Das Integral von

$\frac{1}{u_{1}}$ nach

$u_{1}$ ist

$\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Schritt 11

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

$x$ ist, ziehe

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Schritt 12

Sei

$u_{2} = x - 1$ . Dann ist

$d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von

$u_{2}$ und

$d$

$u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Es sei

$u_{2} = x - 1$ . Ermittle

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Differenziere

$x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x - 1$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.4

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$1 + 0$

Schritt 12.1.5

Addiere

$1$ und

$0$ .

$1$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

$u_{2}$ und

$d u_{2}$ neu.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 13

Das Integral von

$\frac{1}{u_{2}}$ nach

$u_{2}$ ist

$\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze alle

$u_{1}$ durch

$x + 1$ .

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle

$u_{2}$ durch

$x - 1$ .

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.1

Kombiniere

$\ln (| x + 1 |)$ und

$\frac{1}{2}$ .

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

Schritt 16.1.2

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$\ln (| x - 1 |)$ .

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C$

Schritt 16.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Schritt 16.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C$

Gib DEINE Aufgabe ein