Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Schritt 1

Prüfe, ob die Funktion in den Summengrenzen kontinuierlich ist.

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Schritt 1.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${k | k \in ℝ}$

Schritt 1.2

$f (k)$ ist stetig im Intervall $[1, \infty)$ .

$Die Funktion ist stetig.$

Schritt 2

Prüfe, ob die Funktion in den Grenzen positiv ist.

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Schritt 2.1

Stelle eine Ungleichung auf.

$k e^{k^{2}} > 0$

Schritt 2.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 2.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze $k$ gleich $0$ .

$k = 0$

Schritt 2.2.3

Setze $e^{k^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Setze $e^{k^{2}}$ gleich $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Löse $e^{k^{2}} = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 2.2.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{k^{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $k e^{k^{2}} > 0$ wahr machen.

$k = 0$

Schritt 2.2.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$k > 0$

Schritt 3

Bestimme, wo die Funktion abfallend ist.

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Schritt 3.1

Schreibe $k e^{k^{2}}$ als Funktion.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Schritt 3.2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ gleich $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ ist mit $f (k) = k$ und $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ ist $f' (g (k)) g' (k)$ , mit $f (k) = e^{k}$ und $g (k) = k^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $k$ mit $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $k$ mit $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Schritt 3.2.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $e^{k^{2}}$ mit $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Schritt 3.2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1.10.1

Stelle die Terme um.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Schritt 3.2.1.10.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ um.

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Schritt 3.2.2

Die erste Ableitung von $f (k)$ nach $k$ ist $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Schritt 3.3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $e^{k^{2}}$ aus $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $e^{k^{2}}$ aus $2 k^{2} e^{k^{2}}$ heraus.

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $e^{k^{2}}$ aus $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ heraus.

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Schritt 3.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Schritt 3.3.4

Setze $e^{k^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 3.3.4.1

Setze $e^{k^{2}}$ gleich $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Schritt 3.3.4.2

Löse $e^{k^{2}} = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 3.3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Schritt 3.3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{k^{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.3.5

Setze $2 k^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $2 k^{2} + 1$ gleich $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Löse $2 k^{2} + 1 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 3.3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 k^{2} = - 1$

Schritt 3.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 k^{2} = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 k^{2} = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $k^{2}$ durch $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.5.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 3.3.5.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.3.5.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.5.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.5.2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.3.5.2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.5.2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4

Es gibt keine Werte von $k$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 3.5

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (k) = k e^{k^{2}}$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 3.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 3.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $k$ durch $1$ .

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2.1.4

Vereinfache.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 2 e + e$

Schritt 3.6.2.1.6

Vereinfache.

$f' (1) = 2 e + e$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $2 e$ und $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Schritt 3.6.2.3

Die endgültige Lösung ist $3 e$ .

$3 e$

Schritt 3.7

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ ist $3 e$ , was positiv ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ansteigend.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Schritt 3.8

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer ansteigt.

$Immer ansteigend$

Schritt 4

Das Integralkriterium ist nicht anwendbar, weil die Funktion nicht immer von $1$ nach $\infty$ abfällt.

Gib DEINE Aufgabe ein