Analysis Beispiele

$18$ , $6$ , $2$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{3}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 18$ und $r = \frac{1}{3}$ ein.

$a_{n} = 18 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$a_{n} = 18 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Schritt 5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = 18 \frac{1}{3^{n - 1}}$

Schritt 6

Kombiniere $18$ und $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{18}{3^{n - 1}}$

Schritt 7

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 8

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{5}$ zu ermitteln.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.3

Potenziere $3$ mit $5$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $243$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.7.2

Subtrahiere $243$ von $1$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 10.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$S_{5} = 18 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 11

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

Schritt 12

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{5} = 18 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $242$ heraus.

$S_{5} = 18 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = 18 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = 18 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $3$ aus $243$ heraus.

$S_{5} = 18 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = 18 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = 18 \cdot \frac{121}{81}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 15.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$S_{5} = 9 (2) \cdot \frac{121}{81}$

Schritt 15.2

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$S_{5} = 9 \cdot 2 \cdot \frac{121}{9 \cdot 9}$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = 9 \cdot 2 \cdot \frac{121}{9 \cdot 9}$

Schritt 15.4

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = 2 \cdot \frac{121}{9}$

Schritt 16

Kombiniere $2$ und $\frac{121}{9}$ .

$S_{5} = \frac{2 \cdot 121}{9}$

Schritt 17

Mutltipliziere $2$ mit $121$ .

$S_{5} = \frac{242}{9}$

Schritt 18

Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um.

$S_{5} = 26.\overline{8}$

Gib DEINE Aufgabe ein