Analysis Beispiele

\infty \sum n = 1 {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Schritt 1

Ermittle für eine unendliche Reihe

\sum a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ den Grenzwert

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ , um die Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums von Cauchy zu bestimmen.

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Schritt 2

Setze für

a_{n}

$a_{n}$ ein.

L = lim n \to \infty {∣ ∣ ∣ {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} ∣ ∣ ∣}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Verschiebe den Exponenten in den Absolutwert.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in

{({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

n

$n$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Schritt 4.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von

$n$ im Nenner, was

$n^{3}$ ist.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$n$ und

$n^{3}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Faktorisiere

$n$ aus

$2 n$ heraus.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere

$n$ aus

$n^{3}$ heraus.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$n^{3}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$n^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere

$5$ durch

$1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$n$ sich an

$\infty$ annähert.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$n$ sich an

$\infty$ annähert.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.5

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$n$ ist.

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch

$\frac{1}{n^{2}}$

$0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.5.1

Berechne den Grenzwert von

$1$ , welcher konstant ist, wenn

$n$ sich

$\infty$ annähert.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$n$ sich an

$\infty$ annähert.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.5.3

Berechne den Grenzwert von

$5$ , welcher konstant ist, wenn

$n$ sich

$\infty$ annähert.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch

$\frac{1}{n^{3}}$

$0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Schritt 4.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Schritt 4.7.1.2

Addiere

$0$ und

$1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Schritt 4.7.2

Addiere

$5$ und

$0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Schritt 4.7.3

$\frac{1}{5}$ ist ungefähr

$0.2$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$L = \frac{1}{5}$

Schritt 4.8

Dividiere

$1$ durch

$5$ .

$L = 0.2$

Schritt 5

Wenn

$L < 1$ , ist die Reihe absolut konvergent. Wenn

$L > 1$ , ist die Reihe divergent. Wenn

$L = 1$ , ist das Kriterium nicht schlüssig. In diesem Fall:

$L < 1$ .

Die Reihe ist konvergent zu

$[1, \infty)$

Gib DEINE Aufgabe ein