Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Schritt 1

Ermittle für eine unendliche Reihe $\sum_{}^{} a_{n}$ den Grenzwert $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ , um die Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums von Cauchy zu bestimmen.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Schritt 2

Setze für $a_{n}$ ein.

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Verschiebe den Exponenten in den Absolutwert.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Schritt 4.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $n$ im Nenner, was $n^{3}$ ist.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n$ und $n^{3}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Faktorisiere $n$ aus $2 n$ heraus.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $n$ aus $n^{3}$ heraus.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{3}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.3.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n^{2}}$ $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.5.3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Schritt 4.6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n^{3}}$ $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Schritt 4.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Schritt 4.7.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Schritt 4.7.2

Addiere $5$ und $0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Schritt 4.7.3

$\frac{1}{5}$ ist ungefähr $0.2$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$L = \frac{1}{5}$

Schritt 4.8

Dividiere $1$ durch $5$ .

$L = 0.2$

Schritt 5

Wenn $L < 1$ , ist die Reihe absolut konvergent. Wenn $L > 1$ , ist die Reihe divergent. Wenn $L = 1$ , ist das Kriterium nicht schlüssig. In diesem Fall: $L < 1$ .

Die Reihe ist konvergent zu $[1, \infty)$

Gib DEINE Aufgabe ein