Analysis Beispiele

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Schritt 1

Ermittle für eine unendliche Reihe $\sum_{}^{} a_{n}$ den Grenzwert $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ , um die Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums von Cauchy zu bestimmen.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Schritt 2

Setze für $a_{n}$ ein.

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Verschiebe den Exponenten in den Absolutwert.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ an.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 3.4

Berechne den Exponenten.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.1

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 4.1.2

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 4.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 4.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Schritt 4.2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $n^{\frac{1}{n}}$ als $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ um.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Schritt 4.2.2

Zerlege $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{n}$ aus dem Logarithmus.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{n}$ und $\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Schritt 4.4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Schritt 4.4.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Schritt 4.4.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Schritt 4.4.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Schritt 4.4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Schritt 4.4.3.2

Die Ableitung von $\ln (n)$ nach $n$ ist $\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Schritt 4.4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Schritt 4.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Schritt 4.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{n}$ mit $1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Schritt 4.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n}$ $0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Schritt 4.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.6.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Schritt 4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Schritt 4.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$L = | - 2 |$

Schritt 4.6.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$L = 2$

Schritt 5

Wenn $L < 1$ , ist die Reihe absolut konvergent. Wenn $L > 1$ , ist die Reihe divergent. Wenn $L = 1$ , ist das Kriterium nicht schlüssig. In diesem Fall: $L > 1$ .

Die Reihe ist divergent zu $[0, \infty)$

Gib DEINE Aufgabe ein