Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{3} + 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 x^{3} + 6$ als Gleichung.

$y = 5 x^{3} + 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 y^{3} + 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 y^{3} + 6 = x$ um.

$5 y^{3} + 6 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{3} = x - 6$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = x - 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = x - 6$ durch $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = \frac{x}{5} - \frac{6}{5}$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$ .

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Schritt 3.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ als $5$ um.

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Schritt 3.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Schritt 3.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ als $\sqrt[3]{5^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Schritt 3.5.5.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{25}}{5}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$

Schritt 3.5.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 x^{3} + 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 x^{3} + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 6) - 6)}}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $5 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $125 x^{3}$ als ${(5 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Schritt 5.2.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})}^{3} + 6$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}$ als $25 (x - 6)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{25 (x - 6)}$ als ${(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 150}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $25$ aus $25 x - 150$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 150}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $- 150$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.2.4.3

Faktorisiere $25$ aus $25 x + 25 \cdot - 6$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{125}) + 6$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 (25)}) + 6$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 \cdot 25}) + 6$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $x - 6$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x - 6 + 6$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 x^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Gib DEINE Aufgabe ein