Analysis Beispiele

$\int 6 {(2 x - 1)}^{- 3} d x$ , $u = 2 x - 1$

Schritt 1

Wenn $u = 2 x - 1$ . Dann $d u = 2 d x$ . Umschreibe dies mit $u$ und $d u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{3}{u^{3}} d u$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 \int u^{- 3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 5.1.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{- 3}{2 u^{2}} + C$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 u^{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$- \frac{3}{2 {(2 x - 1)}^{2}} + C$

Gib DEINE Aufgabe ein