Analysis Beispiele

$6 \sqrt{3 x}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \sqrt{3 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$6 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $6$ .

$\frac{6}{3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{4}{3} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Gib DEINE Aufgabe ein