Analysis Beispiele

y = x^{2} + 3 x + 34

$y = x^{2} + 3 x + 34$ ,

(0, 34)

$(0, 34)$

Schritt 1

Schreibe

y = x^{2} + 3 x + 34

$y = x^{2} + 3 x + 34$ als Funktion.

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Schritt 2

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ bei

x = 0

$x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

0

$0$ .

f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

f (0) = 0 + 3 (0) + 34

$f (0) = 0 + 3 (0) + 34$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 + 34

$f (0) = 0 + 0 + 34$

f (0) = 0 + 0 + 34

$f (0) = 0 + 0 + 34$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Addiere

0

$0$ und

0

$0$ .

f (0) = 0 + 34

$f (0) = 0 + 34$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere

0

$0$ und

34

$34$ .

f (0) = 34

$f (0) = 34$

f (0) = 34

$f (0) = 34$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist

34

$34$ .

34

$34$

34

$34$

34

$34$

Schritt 2.2

34 = 34

$34 = 34$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 3

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

m

$m$

=

$=$ Die Ableitung von

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Schritt 4

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 5

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne die Funktion bei

$x = x + h$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1.1

Schreibe

${(x + h)}^{2}$ als

$(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.2

Multipliziere

$(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere

$h$ mit

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.3.2

Addiere

$x h$ und

$h x$ .

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Schritt 5.1.2.1.3.2.1

Stelle

$x$ und

$h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.3.2.2

Addiere

$h x$ und

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Schritt 5.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Schritt 5.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1

Bewege

$3 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Schritt 5.2.2

Bewege

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Schritt 5.2.3

Stelle

$2 h x$ und

$h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Schritt 5.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Schritt 6

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - (x^{2} + 3 x + 34)}{h}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - (3 x) - 1 \cdot 34}{h}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 1 \cdot 34}{h}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere

$x^{2}$ von

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 + 0 - 3 x - 34}{h}$

Schritt 7.1.4

Addiere

$h^{2}$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 - 3 x - 34}{h}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere

$3 x$ von

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0 + 34 - 34}{h}$

Schritt 7.1.6

Addiere

$h^{2}$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 34 - 34}{h}$

Schritt 7.1.7

Subtrahiere

$34$ von

$34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Schritt 7.1.8

Addiere

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

Schritt 7.1.9

Faktorisiere

$h$ aus

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ heraus.

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Schritt 7.1.9.1

Faktorisiere

$h$ aus

$h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

Schritt 7.1.9.2

Faktorisiere

$h$ aus

$2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

Schritt 7.1.9.3

Faktorisiere

$h$ aus

$3 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

Schritt 7.1.9.4

Faktorisiere

$h$ aus

$h (h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Schritt 7.1.9.5

Faktorisiere

$h$ aus

$h (h + 2 x) + h \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$h$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere

$h + 2 x + 3$ durch

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 3$

Schritt 7.2.2

Stelle

$h$ und

$2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 3$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$h$ sich an

$0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von

$2 x$ , welcher konstant ist, wenn

$h$ sich

$0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von

$3$ , welcher konstant ist, wenn

$h$ sich

$0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h + 3$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von

$h$ durch Einsetzen von

$0$ für

$h$ .

$2 x + 0 + 3$

Schritt 10

Addiere

$2 x$ und

$0$ .

$2 x + 3$

Schritt 11

Vereinfache

$2 (0) + 3$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$m = 0 + 3$

Schritt 11.2

Addiere

$0$ und

$3$ .

$m = 3$

Schritt 12

Die Steigung ist

$m = 3$ und der Punkt ist

$(0, 34)$ .

$m = 3, (0, 34)$

Schritt 13

Ermittle den Wert von

$b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 13.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um

$b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 13.2

Setze den Wert von

$m$ in die Gleichung ein.

$y = (3) \cdot x + b$

Schritt 13.3

Setze den Wert von

$x$ in die Gleichung ein.

$y = (3) \cdot (0) + b$

Schritt 13.4

Setze den Wert von

$y$ in die Gleichung ein.

$34 = (3) \cdot (0) + b$

Schritt 13.5

Ermittele den Wert von

$b$ .

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Schritt 13.5.1

Schreibe die Gleichung als

$(3) \cdot (0) + b = 34$ um.

$(3) \cdot (0) + b = 34$

Schritt 13.5.2

Vereinfache

$(3) \cdot (0) + b$ .

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Schritt 13.5.2.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$0$ .

$0 + b = 34$

Schritt 13.5.2.2

Addiere

$0$ und

$b$ .

$b = 34$

Schritt 14

Nun, da die Werte von

$m$ (Steigung) und

$b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in

$y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 3 x + 34$

Schritt 15

Gib DEINE Aufgabe ein