Analysis Beispiele

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ ,

(1, 16)

$(1, 16)$

Schritt 1

Schreibe

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ als Funktion.

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ bei

x = 1

$x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

1

$1$ .

f (1) = {((1) + 3)}^{2}

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Addiere

1

$1$ und

3

$3$ .

f (1) = 4^{2}

$f (1) = 4^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

f (1) = 16

$f (1) = 16$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist

16

$16$ .

16

$16$

16

$16$

16

$16$

Schritt 2.2

16 = 16

$16 = 16$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 3

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

m

$m$

=

$=$ Die Ableitung von

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 4

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 5

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne die Funktion bei

$x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$x + h$ .

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Schreibe

${(x + h + 3)}^{2}$ als

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ um.

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Schritt 5.1.2.2

Multipliziere

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.3.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.2

Bringe

$3$ auf die linke Seite von

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.3

Mutltipliziere

$h$ mit

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.4

Bringe

$3$ auf die linke Seite von

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.5

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.4

Addiere

$x h$ und

$h x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.4.1

Stelle

$x$ und

$h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.4.2

Addiere

$h x$ und

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.5

Addiere

$3 x$ und

$3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.6

Addiere

$3 h$ und

$3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.1.2.7

Die endgültige Lösung ist

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bewege

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.2.2

Stelle

$2 h x$ und

$h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Schritt 6

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere

$6$ mit

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere

$x^{2}$ von

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Schritt 7.1.4

Addiere

$h^{2}$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere

$6 x$ von

$6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Schritt 7.1.6

Addiere

$h^{2}$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Schritt 7.1.7

Subtrahiere

$9$ von

$9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Schritt 7.1.8

Addiere

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Schritt 7.1.9

Faktorisiere

$h$ aus

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ heraus.

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Schritt 7.1.9.1

Faktorisiere

$h$ aus

$h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Schritt 7.1.9.2

Faktorisiere

$h$ aus

$2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Schritt 7.1.9.3

Faktorisiere

$h$ aus

$6 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Schritt 7.1.9.4

Faktorisiere

$h$ aus

$h (h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Schritt 7.1.9.5

Faktorisiere

$h$ aus

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$h$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere

$h + 2 x + 6$ durch

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Schritt 7.2.2

Stelle

$h$ und

$2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$h$ sich an

$0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von

$2 x$ , welcher konstant ist, wenn

$h$ sich

$0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von

$6$ , welcher konstant ist, wenn

$h$ sich

$0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von

$h$ durch Einsetzen von

$0$ für

$h$ .

$2 x + 0 + 6$

Schritt 10

Addiere

$2 x$ und

$0$ .

$2 x + 6$

Schritt 11

Vereinfache

$2 (1) + 6$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$m = 2 + 6$

Schritt 11.2

Addiere

$2$ und

$6$ .

$m = 8$

Schritt 12

Die Steigung ist

$m = 8$ und der Punkt ist

$(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Schritt 13

Ermittle den Wert von

$b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 13.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um

$b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 13.2

Setze den Wert von

$m$ in die Gleichung ein.

$y = (8) \cdot x + b$

Schritt 13.3

Setze den Wert von

$x$ in die Gleichung ein.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Schritt 13.4

Setze den Wert von

$y$ in die Gleichung ein.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Schritt 13.5

Ermittele den Wert von

$b$ .

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Schritt 13.5.1

Schreibe die Gleichung als

$(8) \cdot (1) + b = 16$ um.

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Schritt 13.5.2

Mutltipliziere

$8$ mit

$1$ .

$8 + b = 16$

Schritt 13.5.3

Bringe alle Terme, die nicht

$b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.5.3.1

Subtrahiere

$8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 16 - 8$

Schritt 13.5.3.2

Subtrahiere

$8$ von

$16$ .

$b = 8$

Schritt 14

Nun, da die Werte von

$m$ (Steigung) und

$b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in

$y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 8 x + 8$

Schritt 15

Gib DEINE Aufgabe ein