Analysis Beispiele

$7 x^{2} + 3 x$ , $(1, 10)$

Schritt 1

Schreibe $7 x^{2} + 3 x$ als Funktion.

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Schritt 2

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 2.1

Berechne $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $7$ und $3$ .

$f (1) = 10$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 2.2

Da $10 = 10$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 3

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Schritt 4

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 5

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 5.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 5.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Schritt 5.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1

Bewege $3 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Schritt 5.2.2

Bewege $7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Schritt 5.2.3

Stelle $14 h x$ und $7 h^{2}$ um.

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Schritt 5.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Schritt 6

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $7 x^{2}$ von $7 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Schritt 7.1.5

Addiere $7 h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Schritt 7.1.6

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Schritt 7.1.7

Addiere $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Schritt 7.1.8

Faktorisiere $h$ aus $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ heraus.

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Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $h$ aus $7 h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Schritt 7.1.8.2

Faktorisiere $h$ aus $14 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Schritt 7.1.8.3

Faktorisiere $h$ aus $3 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Schritt 7.1.8.4

Faktorisiere $h$ aus $h (7 h) + h (14 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Schritt 7.1.8.5

Faktorisiere $h$ aus $h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $7 h + 14 x + 3$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Schritt 7.2.2

Stelle $7 h$ und $14 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $14 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Schritt 8.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$14 x + 0 + 3$

Schritt 10.2

Addiere $14 x$ und $0$ .

$14 x + 3$

Schritt 11

Vereinfache $14 (1) + 3$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$m = 14 + 3$

Schritt 11.2

Addiere $14$ und $3$ .

$m = 17$

Schritt 12

Die Steigung ist $m = 17$ und der Punkt ist $(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Schritt 13

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 13.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 13.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (17) \cdot x + b$

Schritt 13.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Schritt 13.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Schritt 13.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 13.5.1

Schreibe die Gleichung als $(17) \cdot (1) + b = 10$ um.

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Schritt 13.5.2

Mutltipliziere $17$ mit $1$ .

$17 + b = 10$

Schritt 13.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.5.3.1

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 10 - 17$

Schritt 13.5.3.2

Subtrahiere $17$ von $10$ .

$b = - 7$

Schritt 14

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 17 x - 7$

Schritt 15

Gib DEINE Aufgabe ein