Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Stelle $e^{x}$ und $\sin (x)$ um.

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Schritt 6.3

Stelle $e^{x}$ und $\cos (x)$ um.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Schritt 6.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Schritt 6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.6

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ mit $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Schritt 6.7

Wenn nach $\int e^{x} \sin (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Schritt 6.8

Schreibe $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ als $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ um.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

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Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{2}$ und $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

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Schritt 7.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Schritt 7.1.3.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Schritt 7.1.4

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ um.

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Kombinieren.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.3.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \cos (x)$ heraus.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Gib DEINE Aufgabe ein