Analysis Beispiele

\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ , wobei

P (x) = - \frac{1}{x}

$P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

e^{\int - \frac{1}{x} d x}

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere

- \frac{1}{x}

$- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

- 1

$- 1$ aus dem Integral.

e^{- \int \frac{1}{x} d x}

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ nach

x

$x$ ist

ln (| x |)

$\ln (| x |)$ .

e^{- (ln (| x |) + C)}

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

e^{- ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

e^{- ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

e^{- ln (x)}

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

e^{ln (x^{- 1})}

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

x^{- 1}

$x^{- 1}$

Schritt 1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ und

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2.3

Kombiniere

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ und

y

$y$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2.4

Multipliziere

- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ mit

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2.4.2

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2.4.3

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2.4.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.2.4.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 2.4

Kombiniere

$2$ und

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 2$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 2 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int 2 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{x} y = 2 x + C$

Schritt 7

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 7.1

Kombiniere

$\frac{1}{x}$ und

$y$ .

$\frac{y}{x} = 2 x + C$

Schritt 7.2

Multipliziere beide Seiten mit

$x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

Schritt 7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (2 x + C) x$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache

$(2 x + C) x$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 x \cdot x + C x$

Schritt 7.3.2.1.2

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.1.2.1

Bewege

$x$ .

$y = 2 (x \cdot x) + C x$

Schritt 7.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$y = 2 x^{2} + C x$

Schritt 7.3.2.1.3

Stelle

$2 x^{2}$ und

$C x$ um.

$y = C x + 2 x^{2}$

Gib DEINE Aufgabe ein