Analysis Beispiele
dydx=yx-(yx)2
Schritt 1
Es gilt V=yx. Ersetze V für yx.
dydx=V-V2
Schritt 2
Löse V=yx nach y auf.
y=Vx
Schritt 3
Verwende die Produktregel um die Ableitung von y=Vx nach x zu finden.
dydx=xdVdx+V
Schritt 4
Ersetze dydx durch xdVdx+V.
xdVdx+V=V-V2
Schritt 5
Schritt 5.1
Separiere die Variablen.
Schritt 5.1.1
Löse nach dVdx auf.
Schritt 5.1.1.1
Bringe alle Terme, die nicht dVdx enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Schritt 5.1.1.1.1
Subtrahiere V von beiden Seiten der Gleichung.
xdVdx=V-V2-V
Schritt 5.1.1.1.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in V-V2-V.
Schritt 5.1.1.1.2.1
Subtrahiere V von V.
xdVdx=-V2+0
Schritt 5.1.1.1.2.2
Addiere -V2 und 0.
xdVdx=-V2
xdVdx=-V2
xdVdx=-V2
Schritt 5.1.1.2
Teile jeden Ausdruck in xdVdx=-V2 durch x und vereinfache.
Schritt 5.1.1.2.1
Teile jeden Ausdruck in xdVdx=-V2 durch x.
xdVdxx=-V2x
Schritt 5.1.1.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.1.1.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von x.
Schritt 5.1.1.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
xdVdxx=-V2x
Schritt 5.1.1.2.2.1.2
Dividiere dVdx durch 1.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Schritt 5.1.1.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.1.1.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Schritt 5.1.2
Multipliziere beide Seiten mit 1V2.
1V2dVdx=1V2(-V2x)
Schritt 5.1.3
Vereinfache.
Schritt 5.1.3.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Schritt 5.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von V2.
Schritt 5.1.3.2.1
Bringe das führende Minuszeichen in -1V2 in den Zähler.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Schritt 5.1.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Schritt 5.1.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
Schritt 5.1.4
Schreibe die Gleichung um.
1V2dV=-1xdx
1V2dV=-1xdx
Schritt 5.2
Integriere beide Seiten.
Schritt 5.2.1
Integriere auf beiden Seiten.
∫1V2dV=∫-1xdx
Schritt 5.2.2
Integriere die linke Seite.
Schritt 5.2.2.1
Wende die grundlegenden Potenzregeln an.
Schritt 5.2.2.1.1
Bringe V2 aus dem Nenner durch Potenzieren mit -1.
∫(V2)-1dV=∫-1xdx
Schritt 5.2.2.1.2
Multipliziere die Exponenten in (V2)-1.
Schritt 5.2.2.1.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, (am)n=amn.
∫V2⋅-1dV=∫-1xdx
Schritt 5.2.2.1.2.2
Mutltipliziere 2 mit -1.
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
Schritt 5.2.2.2
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von V-2 nach V gleich -V-1.
-V-1+C1=∫-1xdx
Schritt 5.2.2.3
Schreibe -V-1+C1 als -1V+C1 um.
-1V+C1=∫-1xdx
-1V+C1=∫-1xdx
Schritt 5.2.3
Integriere die rechte Seite.
Schritt 5.2.3.1
Da -1 konstant bezüglich x ist, ziehe -1 aus dem Integral.
-1V+C1=-∫1xdx
Schritt 5.2.3.2
Das Integral von 1x nach x ist ln(|x|).
-1V+C1=-(ln(|x|)+C2)
Schritt 5.2.3.3
Vereinfache.
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
Schritt 5.2.4
Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als C zusammen.
-1V=-ln(|x|)+C
-1V=-ln(|x|)+C
Schritt 5.3
Löse nach V auf.
Schritt 5.3.1
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
Schritt 5.3.1.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
V,1,1
Schritt 5.3.1.2
Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.
V
V
Schritt 5.3.2
Multipliziere jeden Term in -1V=-ln(|x|)+C mit V um die Brüche zu eliminieren.
Schritt 5.3.2.1
Multipliziere jeden Term in -1V=-ln(|x|)+C mit V.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Schritt 5.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von V.
Schritt 5.3.2.2.1.1
Bringe das führende Minuszeichen in -1V in den Zähler.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Schritt 5.3.2.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Schritt 5.3.2.2.1.3
Forme den Ausdruck um.
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
Schritt 5.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.3.2.3.1
Stelle die Faktoren in -ln(|x|)V+CV um.
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
Schritt 5.3.3
Löse die Gleichung.
Schritt 5.3.3.1
Schreibe die Gleichung als -Vln(|x|)+CV=-1 um.
-Vln(|x|)+CV=-1
Schritt 5.3.3.2
Faktorisiere V aus -Vln(|x|)+CV heraus.
Schritt 5.3.3.2.1
Faktorisiere V aus -Vln(|x|) heraus.
V(-1ln(|x|))+CV=-1
Schritt 5.3.3.2.2
Faktorisiere V aus CV heraus.
V(-1ln(|x|))+VC=-1
Schritt 5.3.3.2.3
Faktorisiere V aus V(-1ln(|x|))+VC heraus.
V(-1ln(|x|)+C)=-1
V(-1ln(|x|)+C)=-1
Schritt 5.3.3.3
Schreibe -1ln(|x|) als -ln(|x|) um.
V(-ln(|x|)+C)=-1
Schritt 5.3.3.4
Teile jeden Ausdruck in V(-ln(|x|)+C)=-1 durch -ln(|x|)+C und vereinfache.
Schritt 5.3.3.4.1
Teile jeden Ausdruck in V(-ln(|x|)+C)=-1 durch -ln(|x|)+C.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Schritt 5.3.3.4.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.3.3.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von -ln(|x|)+C.
Schritt 5.3.3.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Schritt 5.3.3.4.2.1.2
Dividiere V durch 1.
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
Schritt 5.3.3.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.3.3.4.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
V=-1-ln(|x|)+C
Schritt 5.3.3.4.3.2
Faktorisiere -1 aus -ln(|x|) heraus.
V=-1-(ln(|x|))+C
Schritt 5.3.3.4.3.3
Faktorisiere -1 aus C heraus.
V=-1-(ln(|x|))-1(-C)
Schritt 5.3.3.4.3.4
Faktorisiere -1 aus -(ln(|x|))-1(-C) heraus.
V=-1-(ln(|x|)-C)
Schritt 5.3.3.4.3.5
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 5.3.3.4.3.5.1
Schreibe -(ln(|x|)-C) als -1(ln(|x|)-C) um.
V=-1-1(ln(|x|)-C)
Schritt 5.3.3.4.3.5.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
V=--1ln(|x|)-C
Schritt 5.3.3.4.3.5.3
Mutltipliziere -1 mit -1.
V=11ln(|x|)-C
Schritt 5.3.3.4.3.5.4
Mutltipliziere 1ln(|x|)-C mit 1.
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
Schritt 5.4
Vereinfache die Konstante der Integration.
V=1ln(|x|)+C
V=1ln(|x|)+C
Schritt 6
Ersetze V durch yx.
yx=1ln(|x|)+C
Schritt 7
Schritt 7.1
Multipliziere beide Seiten mit x.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Schritt 7.2
Vereinfache.
Schritt 7.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 7.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von x.
Schritt 7.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Schritt 7.2.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
Schritt 7.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 7.2.2.1
Kombiniere 1ln(|x|)+C und x.
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C