Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei

$v = y^{1 - n}$ wo

$n$ der Exponent von

$y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach

$y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von

$y$ in Gedenken an

$x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von

$v^{- 1}$ in Gedenken an

$x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von

$v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit

$f (x) = 1$ und

$g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

$1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere

$v$ mit

$0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere

$\frac{d}{d x} [v]$ von

$0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe

$\frac{d}{d x} [v]$ als

$v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze

$- \frac{v'}{v^{2}}$ für

$\frac{d y}{d x}$ und

$v^{- 1}$ für

$y$ in die ursprüngliche Gleichung

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ mit

$- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ mit

$- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$v^{2}$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere

$v^{2}$ aus

$- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere

$\frac{d v}{d x}$ mit

$1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5

Multipliziere

$v^{- 1}$ mit

$v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1.5.1

Bewege

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5.3

Subtrahiere

$1$ von

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.6

Vereinfache

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.7

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.8

Mutltipliziere

$v$ mit

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 6.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in

${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Schritt 6.1.3.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

Schritt 6.1.3.3

Multipliziere

$v^{- 2}$ mit

$v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.3.1

Bewege

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

Schritt 6.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

Schritt 6.1.3.3.3

Subtrahiere

$2$ von

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

Schritt 6.1.3.4

Vereinfache

$- e^{x} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel

$e^{\int P (x) d x}$ , wobei

$P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit

$e^{x}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

Schritt 6.3.3

Multipliziere

$e^{x}$ mit

$e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.3.1

Bewege

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

Schritt 6.3.3.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

Schritt 6.3.3.3

Addiere

$x$ und

$x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ um.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ziehe

$- 1$ aus dem Integral.

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

Schritt 6.7.2

Sei

$u = 2 x$ . Dann ist

$d u = 2 d x$ , folglich

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

$u$ und

$d$

$u$ .

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Schritt 6.7.2.1

Es sei

$u = 2 x$ . Ermittle

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.7.2.1.1

Differenziere

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.7.2.1.2

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.7.2.1.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$2$

Schritt 6.7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

$u$ und

$d u$ neu.

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6.7.3

Kombiniere

$e^{u}$ und

$\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 6.7.4

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

$u$ ist, ziehe

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.5

Das Integral von

$e^{u}$ nach

$u$ ist

$e^{u}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 6.7.6

Vereinfache.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Schritt 6.7.7

Ersetze alle

$u$ durch

$2 x$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ durch

$e^{x}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ durch

$e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere

$v$ durch

$1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$e^{2 x}$ und

$e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.1.1.1

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$- \frac{1}{2} e^{2 x}$ heraus.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit

$1$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.1.2.4

Dividiere

$- \frac{1}{2} e^{x}$ durch

$1$ .

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.2

Kombiniere

$e^{x}$ und

$\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7

Ersetze

$v$ durch

$y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Gib DEINE Aufgabe ein