Analysis Beispiele

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Schritt 1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = r x$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere.

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Schritt 1.3.2.1

Da $r$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $r x$ nach $x$ gleich $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.3.1

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$e^{r x} r$

Schritt 1.3.2.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{r x} r$ um.

$r e^{r x}$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = r e^{r x}$

Schritt 2

Ermittle $y''$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Schritt 2.2

Da $r$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $r e^{r x}$ nach $x$ gleich $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = r x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Schritt 2.4

Da $r$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $r x$ nach $x$ gleich $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.5

Potenziere $r$ mit $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.6

Potenziere $r$ mit $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $e^{r x}$ mit $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Schritt 3

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Schritt 4

Ersetze $e^{r x}$ durch $y$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Schritt 5

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 r^{2} y = y$ durch $4 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 r^{2} y = y$ durch $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Schritt 5.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Schritt 5.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Gib DEINE Aufgabe ein