Analysis Beispiele

$3 y'' + y = 0$ ,

$y = \sin (k x)$

Schritt 1

Ermittle

$y'$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Schritt 1.2

Die Ableitung von

$y$ nach

$x$ ist

$y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \sin (x)$ und

$g (x) = k x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Schritt 1.3.1.2

Die Ableitung von

$\sin (u)$ nach

$u$ ist

$\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle

$u$ durch

$k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

$k$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$k x$ nach

$x$ gleich

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.3.1

Mutltipliziere

$k$ mit

$1$ .

$\cos (k x) k$

Schritt 1.3.2.3.2

Stelle die Faktoren von

$\cos (k x) k$ um.

$k \cos (k x)$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = k \cos (k x)$

Schritt 2

Ermittle

$y''$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Schritt 2.2

$k$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$k \cos (k x)$ nach

$x$ gleich

$k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \cos (x)$ und

$g (x) = k x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von

$\cos (u)$ nach

$u$ ist

$- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle

$u$ durch

$k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Schritt 2.4

$k$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$k x$ nach

$x$ gleich

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.5

Potenziere

$k$ mit

$1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.6

Potenziere

$k$ mit

$1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.8

Addiere

$1$ und

$1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Schritt 2.11

Stelle die Faktoren von

$k^{2} (- \sin (k x))$ um.

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Schritt 3

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Schritt 4

Ersetze

$\sin (k x)$ durch

$y$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Schritt 5

Löse nach

$k$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere

$y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 k^{2} y = - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in

$- 3 k^{2} y = - y$ durch

$- 3 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 3 k^{2} y = - y$ durch

$- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere

$k^{2}$ durch

$1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.3.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.5

Vereinfache

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Schreibe

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ als

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.2

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4.2

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4.3

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.5.4.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.6

Schreibe

${\sqrt{3}}^{2}$ als

$3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{3}$ als

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein