Analysis Beispiele

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

Schritt 1

Prüfe, ob die gegebene Lösung die Differentialgleichung erfüllt.

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Schritt 1.1

Ermittle

y'

$y'$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von

y

$y$ nach

x

$x$ ist

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Schritt 1.1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.1

c

$c$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ nach

x

$x$ gleich

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ und

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

2 x

$2 x$ .

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ist, wobei

a

$a$ =

e

$e$ .

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

2 x

$2 x$ .

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.3.1

2

$2$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

2 x

$2 x$ nach

x

$x$ gleich

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.3.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 1.1.3.3.3.2

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ .

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.4.1

Stelle die Faktoren von

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ um.

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

Schritt 1.1.3.4.2

Stelle die Faktoren in

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ um.

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

Schritt 1.1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

Schritt 1.2

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Schritt 1.3

Entferne die Klammern.

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Schritt 1.4

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ist ein Lösung von

y' = 2 y

$y' = 2 y$

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ist ein Lösung von

y' = 2 y

$y' = 2 y$

Schritt 2

Ersetze in die Anfangsbedingung

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Schritt 3

Löse nach

c

$c$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ um.

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Schritt 3.2

Vereinfache

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

0

$0$ .

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

Schritt 3.2.2

Alles, was mit

0

$0$ potenziert wird, ist

1

$1$ .

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere

c

$c$ mit

1

$1$ .

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

Gib DEINE Aufgabe ein