Analysis Beispiele

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$ ,

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ ,

y (0) = 5

$y (0) = 5$

Schritt 1

Prüfe, ob die gegebene Lösung die Differentialgleichung erfüllt.

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Schritt 1.1

Ermittle

y'

$y'$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von

y

$y$ nach

x

$x$ ist

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Schritt 1.1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x^{3} - 4 + c

$x^{3} - 4 + c$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.3

- 4

$- 4$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- 4

$- 4$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.4

c

$c$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

c

$c$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

3 x^{2} + 0 + 0

$3 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 1.1.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere

3 x^{2}

$3 x^{2}$ und

0

$0$ .

3 x^{2} + 0

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.3.5.2

Addiere

3 x^{2}

$3 x^{2}$ und

0

$0$ .

3 x^{2}

$3 x^{2}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

Schritt 1.1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

3 x^{2} = 3 x^{2}

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Schritt 1.3

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ ist ein Lösung von

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ ist ein Lösung von

$y' = 3 x^{2}$

Schritt 2

Ersetze in die Anfangsbedingung

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Schritt 3

Löse nach

$c$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

$0^{3} - 4 + c = 5$ um.

$0^{3} - 4 + c = 5$

Schritt 3.2

Vereinfache

$0^{3} - 4 + c$ .

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Schritt 3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere

$4$ von

$0$ .

$- 4 + c = 5$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht

$c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere

$4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$c = 5 + 4$

Schritt 3.3.2

Addiere

$5$ und

$4$ .

$c = 9$

Gib DEINE Aufgabe ein