Analysis Beispiele

$y' = 2 y$ ,

$y = c e^{2 x}$ ,

$y (0) = 3$

Schritt 1

Prüfe, ob die gegebene Lösung die Differentialgleichung erfüllt.

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Schritt 1.1

Ermittle

$y'$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von

$y$ nach

$x$ ist

$y'$ .

$y'$

Schritt 1.1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.1

$c$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$c e^{2 x}$ nach

$x$ gleich

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = e^{x}$ und

$g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich

$a^{u} \ln (a)$ ist, wobei

$a$ =

$e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle

$u$ durch

$2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.3.1

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.3.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 1.1.3.3.3.2

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.4.1

Stelle die Faktoren von

$2 c e^{2 x}$ um.

$2 e^{2 x} c$

Schritt 1.1.3.4.2

Stelle die Faktoren in

$2 e^{2 x} c$ um.

$2 c e^{2 x}$

Schritt 1.1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Schritt 1.2

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Schritt 1.3

Entferne die Klammern.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Schritt 1.4

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = c e^{2 x}$ ist ein Lösung von

$y' = 2 y$

$y = c e^{2 x}$ ist ein Lösung von

$y' = 2 y$

Schritt 2

Ersetze in die Anfangsbedingung

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Schritt 3

Löse nach

$c$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ um.

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Schritt 3.2

Vereinfache

$c e^{2 \cdot 0}$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$c e^{0} = 3$

Schritt 3.2.2

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere

$c$ mit

$1$ .

$c = 3$

Gib DEINE Aufgabe ein