Analysis Beispiele

\frac{d y}{d t} = e^{t}

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ ,

y (0) = 0

$y (0) = 0$ ,

t = 1

$t = 1$ ,

h = 0.1

$h = 0.1$

Schritt 1

Definiere

f (t, y)

$f (t, y)$ , sodass

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

f (t, y) = e^{t}

$f (t, y) = e^{t}$

Schritt 2

Ermittle

f (0, 0)

$f (0, 0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze

0

$0$ für

t

$t$ und

0

$0$ für

y

$y$ ein.

f (0, 0) = e^{0}

$f (0, 0) = e^{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze

e

$e$ durch eine Näherung.

f (0, 0) = {2.71828182}^{0}

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

Schritt 2.2.2

Potenziere

2.71828182

$2.71828182$ mit

0

$0$ .

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

f (0, 0) = 1

$f (0, 0) = 1$

Schritt 3

Verwende die rekursive Formel

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ , um

y_{1}

$y_{1}$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze.

y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere

0.1

$0.1$ mit

1

$1$ .

y_{1} = 0 + 0.1

$y_{1} = 0 + 0.1$

Schritt 3.2.2

Addiere

0

$0$ und

0.1

$0.1$ .

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

y_{1} = 0.1

$y_{1} = 0.1$

Schritt 4

Verwende die rekursive Formel

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ , um

t_{1}

$t_{1}$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze.

t_{1} = 0 + 0.1

$t_{1} = 0 + 0.1$

Schritt 4.2

Addiere

0

$0$ und

0.1

$0.1$ .

t_{1} = 0.1

$t_{1} = 0.1$

t_{1} = 0.1

$t_{1} = 0.1$

Schritt 5

Ermittle

f (0.1, 0.1)

$f (0.1, 0.1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze

0.1

$0.1$ für

t

$t$ und

0.1

$0.1$ für

y

$y$ ein.

f (0.1, 0.1) = e^{0.1}

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Ersetze

e

$e$ durch eine Näherung.

f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

Schritt 5.2.2

Potenziere

2.71828182

$2.71828182$ mit

0.1

$0.1$ .

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

f (0.1, 0.1) = 1.10517091

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

Schritt 6

Verwende die rekursive Formel

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ , um

y_{2}

$y_{2}$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze.

y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere

0.1

$0.1$ mit

1.10517091

$1.10517091$ .

y_{2} = 0.1 + 0.11051709

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

Schritt 6.2.2

Addiere

0.1

$0.1$ und

0.11051709

$0.11051709$ .

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

y_{2} = 0.21051709

$y_{2} = 0.21051709$

Schritt 7

Verwende die rekursive Formel

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ , um

t_{2}

$t_{2}$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze.

t_{2} = 0.1 + 0.1

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

Schritt 7.2

Addiere

0.1

$0.1$ und

0.1

$0.1$ .

t_{2} = 0.2

$t_{2} = 0.2$

t_{2} = 0.2

$t_{2} = 0.2$

Schritt 8

Fahre auf die gleiche Weise fort, bis die gewünschten Werte angenähert sind.

Schritt 9

Gib alle Näherungen in einer Tabelle an.

\begin{matrix} t_{n} & y_{n} 0 & 0 0.1 & 0.1 0.2 & 0.21051709 0.3 & 0.33265736 0.4 & 0.46764324 0.5 & 0.61682571 0.6 & 0.78169784 0.7 & 0.96390972 0.8 & 1.16528499 0.9 & 1.38783908 1 & 1.63379939 \end{matrix}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$

Gib DEINE Aufgabe ein