Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + 2$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei

$x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$x + h$ .

$f (x + h) = 2 (x + h) + 2$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x + 2 h + 2$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist

$2 x + 2 h + 2$ .

$2 x + 2 h + 2$

Schritt 2.2

Stelle

$2 x$ und

$2 h$ um.

$2 h + 2 x + 2$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = 2 x + 2$

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = 2 x + 2$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 x + 2)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x + 2$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 (x) + 2)}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere

$2$ aus

$2$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 (x) + 2 (1))}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 (x + 1))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - 1 \cdot (2 (x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - 2 (x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere

$2$ aus

$2 h + 2 x + 2 - 2 (x + 1)$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - 2 (x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 - 2 (x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere

$2$ aus

$2$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (1) - 2 (x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2 (x + 1)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (1) + 2 (- (x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.3.5

Faktorisiere

$2$ aus

$2 h + 2 (x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x) + 2 (1) + 2 (- (x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (h + x) + 2 (1)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1) + 2 (- (x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.3.7

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (h + x + 1) + 2 (- (x + 1))$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1 - (x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1 - x - 1 \cdot 1)}{h}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1 - x - 1)}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere

$x$ von

$x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0 + 1 - 1)}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere

$h$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 1 - 1)}{h}$

Schritt 4.1.8

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0)}{h}$

Schritt 4.1.9

Addiere

$h$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$h$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Schritt 4.2.2

Dividiere

$2$ durch

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von

$2$ , welcher konstant ist, wenn

$h$ sich

$0$ annähert.

$2$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein