Analysis Beispiele

f (x) = x^{2} - 4

$f (x) = x^{2} - 4$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei

$x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 4$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe

${(x + h)}^{2}$ als

$(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere

$(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 4$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 4$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere

$h$ mit

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere

$x h$ und

$h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle

$x$ und

$h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere

$h x$ und

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 4$

Schritt 2.2.2

Stelle

$2 h x$ und

$h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4$

$f (x) = x^{2} - 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4$

$f (x) = x^{2} - 4$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4 - (x^{2} - 4)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4 - x^{2} + 4}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4 - x^{2} + 4}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere

$x^{2}$ von

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 4 + 4}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere

$h^{2}$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 4 + 4}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere

$- 4$ und

$4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere

$h^{2} + 2 h x$ und

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere

$h$ aus

$h^{2} + 2 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere

$h$ aus

$h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere

$h$ aus

$2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere

$h$ aus

$h (h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere

$h + 2 x$ durch

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Schritt 4.2.2

Stelle

$h$ und

$2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$h$ sich an

$0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von

$2 x$ , welcher konstant ist, wenn

$h$ sich

$0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von

$h$ durch Einsetzen von

$0$ für

$h$ .

$2 x + 0$

Schritt 7

Addiere

$2 x$ und

$0$ .

$2 x$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein