Analysis Beispiele

f (x) = 6 x + 2

$f (x) = 6 x + 2$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei

x = x + h

$x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

x + h

$x + h$ .

f (x + h) = 6 (x + h) + 2

$f (x + h) = 6 (x + h) + 2$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 6 x + 6 h + 2

$f (x + h) = 6 x + 6 h + 2$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$ .

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$

Schritt 2.2

Stelle

6 x

$6 x$ und

6 h

$6 h$ um.

6 h + 6 x + 2

$6 h + 6 x + 2$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

f (x + h) = 6 h + 6 x + 2

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

f (x) = 6 x + 2

$f (x) = 6 x + 2$

f (x + h) = 6 h + 6 x + 2

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

f (x) = 6 x + 2

$f (x) = 6 x + 2$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (6 x + 2)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (6 x + 2)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

6 x + 2

$6 x + 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

6 x

$6 x$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2)}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2 (1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2 (1))}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 (3 x) + 2 (1)

$2 (3 x) + 2 (1)$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x + 1))}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - 1 \cdot (2 (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 1 \cdot (2 (3 x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)

$6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

6 h

$6 h$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

6 x

$6 x$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) - 2 (3 x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 2 (3 x + 1)

$- 2 (3 x + 1)$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.3.5

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 (3 h) + 2 (3 x)

$2 (3 h) + 2 (3 x)$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 (3 h + 3 x) + 2 (1)

$2 (3 h + 3 x) + 2 (1)$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.3.7

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))

$2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))$ heraus.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x) - 1 \cdot 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x) - 1 \cdot 1)}{h}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1 \cdot 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1 \cdot 1)}{h}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1)}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere

3 x

$3 x$ von

3 x

$3 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 0 + 1 - 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0 + 1 - 1)}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere

3 h

$3 h$ und

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 1 - 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 1 - 1)}{h}$

Schritt 4.1.9

Subtrahiere

1

$1$ von

1

$1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 0)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0)}{h}$

Schritt 4.1.10

Addiere

3 h

$3 h$ und

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 \cdot (3 h)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot (3 h)}{h}$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

h

$h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Schritt 4.2.2

Dividiere

$6$ durch

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von

$6$ , welcher konstant ist, wenn

$h$ sich

$0$ annähert.

$6$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein