Analysis Beispiele

$y = {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$ durch Herausziehen von $\cos (x)$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y'}{y} = {\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.10

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 3.2.11

Vereinfache.

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Schritt 3.2.11.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.11.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2.11.2.2

Kombiniere $\cos^{2} (x)$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2.11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.11.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2.11.3.2

Separiere Brüche.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2.11.3.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 3.2.11.3.4

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = (\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 5.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 5.1.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 5.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 5.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\cos (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ und ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Schritt 5.4

Multipliziere $\sin (x)$ mit ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1

Bewege ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin (x)) \ln (\sin (x))$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 5.4.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin^{1} (x)) \ln (\sin (x))$

Schritt 5.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}$ heraus.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}}{1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Schritt 5.5.2.4

Dividiere $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}$ durch $1$ .

$y' = \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Schritt 5.6

Stelle die Faktoren in $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$ um.

$y' = {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

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