Analysis Beispiele

$y = x^{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Es gilt

$y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{x}$ als

$x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Zerlege

$\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ durch Herausziehen von

$x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass

$y$ eine Funktion von

$x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von

$\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und

$g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von

$\ln (x)$ nach

$x$ ist

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.1

Kombiniere

$x^{\frac{1}{2}}$ und

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.4.2

Bringe

$x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere

$x$ mit

$x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.5.1.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.5.1.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.5.4

Subtrahiere

$1$ von

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.2.7

$- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.2.8

Kombiniere

$- 1$ und

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.10.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.2.10.2

Subtrahiere

$2$ von

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.2.12

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.2.13

Kombiniere

$\ln (x)$ und

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.2.14

Bringe

$x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Isoliere

$y'$ und ersetze die Originalfunktion für

$y$ auf der rechten Seite.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Schritt 5.2

Kombiniere

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Schritt 5.3

Kombiniere

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere

$x^{\frac{1}{2}}$ aus

$x^{\sqrt{x}}$ heraus.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Multipliziere mit

$1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.4

Dividiere

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ durch

$1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere

$x^{\frac{1}{2}}$ aus

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ heraus.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.4.1

Faktorisiere

$x^{\frac{1}{2}}$ aus

$2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 5.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 5.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.5.1

$\sqrt{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.4.5.2

Kombiniere

$\sqrt{x}$ und

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.4.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.4.5.4

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.5

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.6

Kombiniere

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ und

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{x}$ als

$x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8.2

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{x}$ als

$x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8.3

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8.4.2

Kombiniere

$x^{\frac{1}{2}}$ und

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8.4.4

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Schritt 5.8.5

Faktorisiere

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ aus

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ heraus.

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Schritt 5.8.5.1

Stelle

$\ln (x)$ und

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ um.

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Schritt 5.8.5.2

Faktorisiere

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ aus

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Schritt 5.8.5.3

Faktorisiere

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ aus

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ heraus.

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Schritt 5.8.5.4

Faktorisiere

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ aus

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ heraus.

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Gib DEINE Aufgabe ein