Analysis Beispiele

y = x^{ln (x)}

$y = x^{\ln (x)}$

Schritt 1

Es gilt

y = f (x)

$y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{ln (x)})

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Zerlege

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von

ln (x)

$\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

ln (y) = ln (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Schritt 2.2

Potenziere

ln (x)

$\ln (x)$ mit

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Schritt 2.3

Potenziere

ln (x)

$\ln (x)$ mit

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

ln (y) = {ln (x)}^{1 + 1}

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass

y

$y$ eine Funktion von

x

$x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von

ln (y)

$\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = x^{2}$ und

$g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich

$n u^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle

$u$ durch

$\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von

$\ln (x)$ nach

$x$ ist

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.1

Kombiniere

$\frac{1}{x}$ und

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere

$\frac{2}{x}$ und

$\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache

$2 \ln (x)$ , indem du

$2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Schritt 4

Isoliere

$y'$ und ersetze die Originalfunktion für

$y$ auf der rechten Seite.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ und

$x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$x^{\ln (x)}$ und

$x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere

$x$ aus

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ heraus.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere

$x$ aus

$x^{1}$ heraus.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ durch

$1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ um.

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Gib DEINE Aufgabe ein