Analysis Beispiele

$x y^{3} + x^{2} y^{2} + 3 x^{2} - 6 = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{3} + x^{2} y^{2} + 3 x^{2} - 6) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{3} + x^{2} y^{2} + 3 x^{2} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x + 0$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x$ und $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x = - y^{3}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 6 x = - y^{3} - 2 y^{2} x$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y x y'$ aus $3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y x y'$ aus $3 y^{2} x y'$ heraus.

$y x y' (3 y) + 2 x^{2} y y' = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y x y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$y x y' (3 y) + y x y' (2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y x y'$ aus $y x y' (3 y) + y x y' (2 x)$ heraus.

$y x y' (3 y + 2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y x y' (3 y + 2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$ durch $y x (3 y + 2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y x y' (3 y + 2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$ durch $y x (3 y + 2 x)$ .

$\frac{y x y' (3 y + 2 x)}{y x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x y' (3 y + 2 x)}{y x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y' (3 y + 2 x)}{x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (3 y + 2 x)}{x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y + 2 x)}{3 y + 2 x} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 2 x$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y + 2 x)}{3 y + 2 x} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y x (3 y + 2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{y (- 2 y x)}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y x (3 y + 2 x)$ heraus.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y x}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y x}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{(2) y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{2 y}{3 y + 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (3 y + 2 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{3 y + 2 x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y x}{(3 y + 2 x) x} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(3 y + 2 x) x$ um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y x}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} - 2 y x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y (- 2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.6

Um $\frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.7

Um $- \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (3 y + 2 x) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x (3 y + 2 x) y} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{6}{y (3 y + 2 x)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x (3 y + 2 x) y} - \frac{6 x}{y (3 y + 2 x) x}$

Schritt 5.3.3.8.3

Stelle die Faktoren von $x (3 y + 2 x) y$ um.

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x y (3 y + 2 x)} - \frac{6 x}{y (3 y + 2 x) x}$

Schritt 5.3.3.8.4

Stelle die Faktoren von $y (3 y + 2 x) x$ um.

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x y (3 y + 2 x)} - \frac{6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.10.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.10.1.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{y \cdot y (- y - 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y - 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{y^{2} (- y) + y^{2} (- 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{- y^{2} y + y^{2} (- 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{- y^{2} y - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.5

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.10.5.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- (y \cdot y^{2}) - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.10.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{- (y^{1} y^{2}) - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{- y^{1 + 2} - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.10.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y' = \frac{- y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.3.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{3}) - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{3}) - (2 y^{2} x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3}) - (2 y^{2} x)$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{3} + 2 y^{2} x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 x$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{3} + 2 y^{2} x) - (6 x)}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3} + 2 y^{2} x) - (6 x)$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.11.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.11.6.1

Schreibe $- (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)$ als $- 1 (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 5.3.3.11.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Gib DEINE Aufgabe ein