Analysis Beispiele

{(x - y)}^{2} = x + y - 1

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe

{(x - y)}^{2}

${(x - y)}^{2}$ als

(x - y) (x - y)

$(x - y) (x - y)$ um.

\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

Schritt 2.2

Multipliziere

(x - y) (x - y)

$(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere

y

$y$ mit

y

$y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.4.1

Bewege

y

$y$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere

y

$y$ mit

y

$y$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere

y^{2}

$y^{2}$ mit

1

$1$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere

y x

$y x$ von

- x y

$- x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bewege

y

$y$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere

x y

$x y$ von

- x y

$- x y$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x^{2} - 2 x y + y^{2}

$x^{2} - 2 x y + y^{2}$ nach

y

$y$

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [f (g (y))]

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist

f' (g (y)) g' (y)

$f' (g (y)) g' (y)$ , mit

f (y) = y^{2}

$f (y) = y^{2}$ und

g (y) = x

$g (y) = x$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

x

$x$ .

\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

x

$x$ .

2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.6

Schreibe

\frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [x]$ als

x'

$x'$ um.

2 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.7

- 2

$- 2$ konstant bezüglich

y

$y$ ist, ist die Ableitung von

- 2 x y

$- 2 x y$ nach

y

$y$ gleich

- 2 \frac{d}{d y} [x y]

$- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

2 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]

$\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich

f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]

$f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit

f (y) = x

$f (y) = x$ und

g (y) = y

$g (y) = y$ .

2 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

2 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.10

Schreibe

\frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [x]$ als

x'

$x'$ um.

2 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

2 x x' - 2 (x + y x') + 2 y

$2 x x' - 2 (x + y x') + 2 y$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

2 x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 y

$2 x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 y$

Schritt 2.12.2

Entferne unnötige Klammern.

2 x x' - 2 x - 2 y x' + 2 y

$2 x x' - 2 x - 2 y x' + 2 y$

Schritt 2.12.3

Stelle die Terme um.

2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x + y - 1

$x + y - 1$ nach

y

$y$

\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.2

Schreibe

\frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [x]$ als

x'

$x'$ um.

x' + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]

$x' + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

x' + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]

$x' + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 3.4

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

y

$y$ ist, ist die Ableitung von

- 1

$- 1$ bezüglich

y

$y$ gleich

0

$0$ .

x' + 1 + 0

$x' + 1 + 0$

Schritt 3.5

Addiere

x' + 1

$x' + 1$ und

0

$0$ .

x' + 1

$x' + 1$

x' + 1

$x' + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y = x' + 1

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y = x' + 1$

Schritt 5

Löse nach

x'

$x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere

x'

$x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y - x' = 1

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y - x' = 1$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht

x'

$x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere

2 x

$2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 x x' - 2 y x' + 2 y - x' = 1 + 2 x

$2 x x' - 2 y x' + 2 y - x' = 1 + 2 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere

2 y

$2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y

$2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y

$2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere

x'

$x'$ aus

2 x x' - 2 y x' - x'

$2 x x' - 2 y x' - x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere

x'

$x'$ aus

2 x x'

$2 x x'$ heraus.

x' (2 x) - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x) - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere

x'

$x'$ aus

- 2 y x'

$- 2 y x'$ heraus.

x' (2 x) + x' (- 2 y) - x' = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x) + x' (- 2 y) - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere

x'

$x'$ aus

- x'

$- x'$ heraus.

x' (2 x) + x' (- 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x) + x' (- 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere

x'

$x'$ aus

x' (2 x) + x' (- 2 y)

$x' (2 x) + x' (- 2 y)$ heraus.

x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere

x'

$x'$ aus

x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1$ heraus.

x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$

x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in

x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ durch

2 x - 2 y - 1

$2 x - 2 y - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in

x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ durch

2 x - 2 y - 1

$2 x - 2 y - 1$ .

\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2 x - 2 y - 1

$2 x - 2 y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere

$x'$ durch

$1$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{1 + 2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Schritt 6

Ersetze

$x'$ durch

$\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Gib DEINE Aufgabe ein