Analysis Beispiele

x^{2} + y^{2} = 25

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (25)

$\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (25)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x^{2} + y^{2}

$x^{2} + y^{2}$ nach

y

$y$

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne

\frac{d}{d y} [x^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [f (g (y))]

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist

f' (g (y)) g' (y)

$f' (g (y)) g' (y)$ , mit

f (y) = y^{2}

$f (y) = y^{2}$ und

g (y) = x

$g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

x

$x$ .

\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

x

$x$ .

2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe

\frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [x]$ als

x'

$x'$ um.

2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

2 x x' + 2 y

$2 x x' + 2 y$

2 x x' + 2 y

$2 x x' + 2 y$

Schritt 3

25

$25$ konstant bezüglich

y

$y$ ist, ist die Ableitung von

25

$25$ bezüglich

y

$y$ gleich

0

$0$ .

0

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

2 x x' + 2 y = 0

$2 x x' + 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach

x'

$x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere

2 y

$2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x x' = - 2 y

$2 x x' = - 2 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in

2 x x' = - 2 y

$2 x x' = - 2 y$ durch

2 x

$2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 x x' = - 2 y

$2 x x' = - 2 y$ durch

2 x

$2 x$ .

\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere

$x'$ durch

$1$ .

$x' = \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 2$ und

$2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2 y$ heraus.

$x' = \frac{2 (- y)}{2 x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x$ heraus.

$x' = \frac{2 (- y)}{2 (x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 (- y)}{2 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze

$x'$ durch

$\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y}{x}$

Gib DEINE Aufgabe ein