Analysis Beispiele

$y = x - x^{2} + 4 x^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x^{2} + 4 x^{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von

$y$ nach

$x$ ist

$y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x - x^{2} + 4 x^{4}$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.2

Berechne

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- x^{2}$ nach

$x$ gleich

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$1 - (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$1 - 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Schritt 3.3.1

$4$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$4 x^{4}$ nach

$x$ gleich

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 - 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 4$ .

$1 - 2 x + 4 (4 x^{3})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$4$ .

$1 - 2 x + 16 x^{3}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$16 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 5

Ersetze

$y'$ durch

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 6

Setze

$\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach

$x$ , ausgedrückt mittels

$y$ , auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere

$16 x^{3} - 2 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

$\frac{p}{q}$ , wobei

$p$ ein Teiler der Konstanten und

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 6.1.2

Ermittle jede Kombination von

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0625, \pm 0.5, \pm 0.125, \pm 0.25$

Schritt 6.1.3

Setze

$- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

$0$ , folglich ist

$- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.1.3.1

Setze

$- 0.5$ in das Polynom ein.

$16 {(- 0.5)}^{3} - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Schritt 6.1.3.2

Potenziere

$- 0.5$ mit

$3$ .

$16 \cdot - 0.125 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere

$16$ mit

$- 0.125$ .

$- 2 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Schritt 6.1.3.4

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 0.5$ .

$- 2 + 1 + 1$

Schritt 6.1.3.5

Addiere

$- 2$ und

$1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 6.1.3.6

Addiere

$- 1$ und

$1$ .

$0$

Schritt 6.1.4

$- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

$2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{16 x^{3} - 2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.5

Dividiere

$16 x^{3} - 2 x + 1$ durch

$2 x + 1$ .

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Schritt 6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

$0$ .

$2 x$

$1$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$16 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$2 x$ .

					$8 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$16 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Schritt 6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$16 x^{3} + 8 x^{2}$

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Schritt 6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$- 8 x^{2} - 4 x$

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$

Schritt 6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$2 x + 1$

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Schritt 6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$
										$0$

Schritt 6.1.5.16

Da der Rest gleich

$0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$8 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 6.1.6

Schreibe

$16 x^{3} - 2 x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$2 x + 1 = 0$

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 6.3

Setze

$2 x + 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze

$2 x + 1$ gleich

$0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 6.3.2

Löse

$2 x + 1 = 0$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 6.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = - 1$ durch

$2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = - 1$ durch

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Setze

$8 x^{2} - 4 x + 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze

$8 x^{2} - 4 x + 1$ gleich

$0$ .

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4.2.2

Setze die Werte

$a = 8$ ,

$b = - 4$ und

$c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.3.1.1

Potenziere

$- 4$ mit

$2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

$- 32$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.3

Subtrahiere

$32$ von

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.4

Schreibe

$- 16$ als

$- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (16)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.7

Schreibe

$16$ als

$4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.9

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 6.4.2.3.3

Vereinfache

$\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 6.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$+$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.1.1

Potenziere

$- 4$ mit

$2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere

$- 32$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.3

Subtrahiere

$32$ von

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.4

Schreibe

$- 16$ als

$- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (16)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.7

Schreibe

$16$ als

$4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.9

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 6.4.2.4.3

Vereinfache

$\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 6.4.2.4.4

Ändere das

$\pm$ zu

$+$ .

$x = \frac{1 + i}{4}$

Schritt 6.4.2.4.5

Zerlege den Bruch

$\frac{1 + i}{4}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$

Schritt 6.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$-$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.5.1.1

Potenziere

$- 4$ mit

$2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere

$- 32$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.3

Subtrahiere

$32$ von

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.4

Schreibe

$- 16$ als

$- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (16)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.7

Schreibe

$16$ als

$4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.9

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 6.4.2.5.3

Vereinfache

$\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 6.4.2.5.4

Ändere das

$\pm$ zu

$-$ .

$x = \frac{1 - i}{4}$

Schritt 6.4.2.5.5

Zerlege den Bruch

$\frac{1 - i}{4}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{4} + \frac{- i}{4}$

Schritt 6.4.2.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Schritt 6.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Schritt 7

Löse nach

$y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$y = (- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache

$(- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf

$- \frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere

$- 1$ mit

${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.2.1

Bewege

${(- 1)}^{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere

${(- 1)}^{2}$ mit

$- 1$ .

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Potenziere

$- 1$ mit

$1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.3

Potenziere

$- 1$ mit

$3$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.5

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.6

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.6.1

Wende die Produktregel auf

$- \frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4})$

Schritt 7.3.1.6.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Schritt 7.3.1.7

Potenziere

$- 1$ mit

$4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Schritt 7.3.1.8

Mutltipliziere

$\frac{1^{4}}{2^{4}}$ mit

$1$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{4}}{2^{4}}$

Schritt 7.3.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2^{4}}$

Schritt 7.3.1.10

Potenziere

$2$ mit

$4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{16})$

Schritt 7.3.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 7.3.1.11.1

Faktorisiere

$4$ aus

$16$ heraus.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (4)}$

Schritt 7.3.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.3.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{- 1 + 1}{4}$

Schritt 7.3.2.2

Addiere

$- 1$ und

$1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.2

Dividiere

$0$ durch

$4$ .

$y = - \frac{1}{2} + 0$

Schritt 7.3.4

Addiere

$- \frac{1}{2}$ und

$0$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Berechnete

$x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$\frac{1}{4} + \frac{i}{4}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 9

Berechnete

$x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$\frac{1}{4} - \frac{i}{4}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen

$\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein