Analysis Beispiele

$y = | x^{2} - x |$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - x$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

Schritt 3.2.5.2

Stelle die Faktoren von $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ um.

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Schritt 6.2

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 6.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Setze $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Schritt 6.3.2

Löse $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - x = 0$

Schritt 6.3.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - x = 0$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x - 1) = 0$

Schritt 6.3.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.2.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.2.2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.2.2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6.3.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

Schritt 6.5

Schließe die Lösungen aus, die $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7

Vereinfache $| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Schritt 7.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Schritt 7.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

Schritt 7.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

Schritt 7.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = | \frac{- 1}{4} |$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = | - \frac{1}{4} |$

Schritt 7.7

$- \frac{1}{4}$ ist ungefähr $- 0.25$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{4}$ um und entferne den Absolutwert

$y = \frac{1}{4}$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein