Analysis Beispiele

y = x + 4 x^{2}

$y = x + 4 x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von

y

$y$ nach

x

$x$ ist

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x + 4 x^{2}

$x + 4 x^{2}$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne

\frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

4

$4$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

4 x^{2}

$4 x^{2}$ nach

x

$x$ gleich

4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

1 + 4 (2 x)

$1 + 4 (2 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere

2

$2$ mit

4

$4$ .

1 + 8 x

$1 + 8 x$

1 + 8 x

$1 + 8 x$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

8 x + 1

$8 x + 1$

8 x + 1

$8 x + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

y' = 8 x + 1

$y' = 8 x + 1$

Schritt 5

Ersetze

y'

$y'$ durch

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{d y}{d x} = 8 x + 1

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

Schritt 6

Setze

\frac{d y}{d x} = 0

$\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach

x

$x$ , ausgedrückt mittels

y

$y$ , auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

8 x = - 1

$8 x = - 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in

8 x = - 1

$8 x = - 1$ durch

8

$8$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in

8 x = - 1

$8 x = - 1$ durch

8

$8$ .

\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

8

$8$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{8}$

Schritt 7

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache

$(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf

$- \frac{1}{8}$ an.

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{1}{8}$ an.

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Schritt 7.3.1.2

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere

$\frac{1^{2}}{8^{2}}$ mit

$1$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Schritt 7.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

Schritt 7.3.1.5

Potenziere

$8$ mit

$2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

Schritt 7.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 7.3.1.6.1

Faktorisiere

$4$ aus

$64$ heraus.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Schritt 7.3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Schritt 7.3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.2

$- \frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

$16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

$1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{8}$ mit

$\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere

$8$ mit

$2$ .

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

Schritt 7.3.5

Addiere

$- 2$ und

$1$ .

$y = \frac{- 1}{16}$

Schritt 7.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{16}$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen

$\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein