Analysis Beispiele

\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}

$\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit

f (x) = x^{3} - 8 x

$f (x) = x^{3} - 8 x$ und

g (x) = x - 1

$g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x^{3} - 8 x$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Schritt 3.1

$- 8$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 8 x$ nach

$x$ gleich

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x - 1$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Addiere

$1$ und

$0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Multipliziere

$(x - 1) (3 x^{2} - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Multipliziere

$x$ mit

$x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.2.1

Bewege

$x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2.2

Mutltipliziere

$x^{2}$ mit

$x$ .

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Schritt 5.3.1.2.2.2.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.3

Bringe

$- 8$ auf die linke Seite von

$x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.4

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 8$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.5

Mutltipliziere

$8$ mit

$1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x$ .

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Schritt 5.3.2.1

Addiere

$- 8 x$ und

$8 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}$ und

$0$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere

$x^{3}$ von

$3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

Gib DEINE Aufgabe ein