Analysis Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit

$f (x) = x$ und

$g (x) = x^{2} - 8$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere

$x^{2} - 8$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x^{2} - 8$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 2.5

$- 8$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 8$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere

$2 x$ und

$0$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 6

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 7

Subtrahiere

$2 x^{2}$ von

$x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 8.2

Schreibe

$- 8$ als

$- 1 (8)$ um.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (x^{2}) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 8.4

Schreibe

$- (x^{2} + 8)$ als

$- 1 (x^{2} + 8)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Gib DEINE Aufgabe ein