Analysis Beispiele

$d (q) = 300 - 5 q$ , $s (q) = q^{2}$

Schritt 1

Finde den Gleichgewichtspunkt.

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Schritt 1.1

Bestimme die Gleichgewichtsmenge.

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Schritt 1.1.1

Ermittle den Gleichgewichtspunkt durch Einsetzen von Angebotsfunktion gleich Nachfragefunktion.

$300 - 5 q = q^{2}$

Schritt 1.1.2

Löse $300 - 5 q = q^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $q^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$300 - 5 q - q^{2} = 0$

Schritt 1.1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $300 - 5 q - q^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 1.1.2.2.1.1.1

Bewege $300$ .

$- 5 q - q^{2} + 300 = 0$

Schritt 1.1.2.2.1.1.2

Stelle $- 5 q$ und $- q^{2}$ um.

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- q^{2}$ heraus.

$- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0$

Schritt 1.1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 q$ heraus.

$- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0$

Schritt 1.1.2.2.1.4

Schreibe $300$ als $- 1 (- 300)$ um.

$- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Schritt 1.1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (q^{2}) - (5 q)$ heraus.

$- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Schritt 1.1.2.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)$ heraus.

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

Schritt 1.1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $q^{2} + 5 q - 300$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 300$ und deren Summe $5$ ist.

$- 15, 20$

Schritt 1.1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

Schritt 1.1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$q - 15 = 0$

$q + 20 = 0$

Schritt 1.1.2.4

Setze $q - 15$ gleich $0$ und löse nach $q$ auf.

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze $q - 15$ gleich $0$ .

$q - 15 = 0$

Schritt 1.1.2.4.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$q = 15$

Schritt 1.1.2.5

Setze $q + 20$ gleich $0$ und löse nach $q$ auf.

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Schritt 1.1.2.5.1

Setze $q + 20$ gleich $0$ .

$q + 20 = 0$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$q = - 20$

Schritt 1.1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (q - 15) (q + 20) = 0$ wahr machen.

$q = 15, - 20$

Schritt 1.1.3

Die negative Lösung außer Acht lassen.

$q = 15$

Schritt 1.2

Bestimme den Gleichgewichtspreis.

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Schritt 1.2.1

Ermittle den Gleichgewichtspreis durch Einsetzen der Gleichgewichtsmenge $15$ für $q$ in $d (q) = 300 - 5 q$ .

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$ .

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $15$ .

$d \cdot 15 = 300 - 75$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $75$ von $300$ .

$d \cdot 15 = 225$

Schritt 1.3

Schreibe den Gleichgewichtspunkt.

$(15, 225)$

Schritt 2

Rechne die Konsumentenrente $\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}$ aus, wenn $q_{eq}$ die Gleichgewichtsmenge und $p_{eq}$ der Gleichgewichtspreis ist.

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225$

Schritt 3

Berechne das Integral und vereinfache

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $225$ .

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375$

Schritt 3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Schritt 3.3

Wende die Konstantenregel an.

$300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Schritt 3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $q$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $q$ nach $q$ gleich $\frac{1}{2} q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Schritt 3.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $300 q$ bei $15$ und $0$ .

$(300 \cdot 15) - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Schritt 3.6.2.2

Berechne $\frac{q^{2}}{2}$ bei $15$ und $0$ .

$300 \cdot 15 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.3.1

Mutltipliziere $300$ mit $15$ .

$4500 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.2

Mutltipliziere $- 300$ mit $0$ .

$4500 + 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.3

Addiere $4500$ und $0$ .

$4500 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.4

Potenziere $15$ mit $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.6.2.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{1}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - 0) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} + 0) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.8

Addiere $\frac{225}{2}$ und $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2}) - 3375$

Schritt 3.6.2.3.9

Kombiniere $- 5$ und $\frac{225}{2}$ .

$4500 + \frac{- 5 \cdot 225}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.10

Mutltipliziere $- 5$ mit $225$ .

$4500 + \frac{- 1125}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4500 - \frac{1125}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.12

Um $4500$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4500 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.13

Kombiniere $4500$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4500 \cdot 2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4500 \cdot 2 - 1125}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.3.15.1

Mutltipliziere $4500$ mit $2$ .

$\frac{9000 - 1125}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.15.2

Subtrahiere $1125$ von $9000$ .

$\frac{7875}{2} - 3375$

Schritt 3.6.2.3.16

Um $- 3375$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} - 3375 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.6.2.3.17

Kombiniere $- 3375$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} + \frac{- 3375 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.6.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7875 - 3375 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.6.2.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.3.19.1

Mutltipliziere $- 3375$ mit $2$ .

$\frac{7875 - 6750}{2}$

Schritt 3.6.2.3.19.2

Subtrahiere $6750$ von $7875$ .

$\frac{1125}{2}$

Schritt 3.7

Dividiere $1125$ durch $2$ .

$562.5$

Gib DEINE Aufgabe ein