Analysis Beispiele

$y = x^{2}$ , $[2, 5]$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion $f$ in einem angegebenen Intervall $[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

Schritt 3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}$

Schritt 3.3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Berechne $\frac{1}{5} x^{5}$ bei $5$ und $2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $3125$ .

$\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3125$ und $5$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $3125$ heraus.

$\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2.4

Dividiere $625$ durch $1$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 32$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$625 - 32 (\frac{1}{5})$

Schritt 3.3.2.6

Kombiniere $- 32$ und $\frac{1}{5}$ .

$625 + \frac{- 32}{5}$

Schritt 3.3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$625 - \frac{32}{5}$

Schritt 3.3.2.8

Um $625$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5}$

Schritt 3.3.2.9

Kombiniere $625$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{32}{5}$

Schritt 3.3.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{625 \cdot 5 - 32}{5}$

Schritt 3.3.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.11.1

Mutltipliziere $625$ mit $5$ .

$\frac{3125 - 32}{5}$

Schritt 3.3.2.11.2

Subtrahiere $32$ von $3125$ .

$\frac{3093}{5}$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 - 2}$ mit $\frac{3093}{5}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{(5 - 2) \cdot 5}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{3 \cdot 5}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3093}{3 \cdot 5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3093$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 5$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 (5)}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}$

Schritt 4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1031}{5}}$ als $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031 \cdot 5}}{5}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $1031$ mit $5$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Dezimalform:

$f_{rms} = 14.35966573 \dots$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein