Analysis Beispiele

y = 4 x - 2

$y = 4 x - 2$ ,

(1, 3)

$(1, 3)$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion

f

$f$ in einem angegebenen Intervall

[a, b]

$[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Sei

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Dann ist

d u = 4 d x

$d u = 4 d x$ , folglich

\frac{1}{4} d u = d x

$\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

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Schritt 3.1.1

Es sei

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Ermittle

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Differenziere

4 x - 2

$4 x - 2$ .

\frac{d}{d x} [4 x - 2]

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

4 x - 2

$4 x - 2$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.3

Berechne

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

4

$4$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

4 x

$4 x$ nach

x

$x$ gleich

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.3.3

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.1.4.1

- 2

$- 2$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- 2

$- 2$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

4 + 0

$4 + 0$

Schritt 3.1.1.4.2

Addiere

4

$4$ und

0

$0$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Schritt 3.1.2

Setze die untere Grenze für

x

$x$ in

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ ein.

u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

u_{lower} = 4 - 2

$u_{lower} = 4 - 2$

Schritt 3.1.3.2

Subtrahiere

2

$2$ von

4

$4$ .

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

Schritt 3.1.4

Setze die obere Grenze für

x

$x$ in

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ ein.

u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

u_{upper} = 12 - 2

$u_{upper} = 12 - 2$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere

2

$2$ von

12

$12$ .

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Schritt 3.1.6

Die für

u_{lower}

$u_{lower}$ und

u_{upper}

$u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Schritt 3.1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von

u

$u$ ,

d u

$d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Schritt 3.2

Kombiniere

u^{2}

$u^{2}$ und

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 3.3

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

u^{2}

$u^{2}$ nach

u

$u$ gleich

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Schritt 3.5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Berechne

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ bei

10

$10$ und

2

$2$ .

\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Potenziere

10

$10$ mit

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 3.5.2.2

Kombiniere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ und

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 3.5.2.3

Potenziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Schritt 3.5.2.4

Mutltipliziere

8

$8$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Schritt 3.5.2.5

Kombiniere

- 8

$- 8$ und

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Schritt 3.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Schritt 3.5.2.8

Subtrahiere

8

$8$ von

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Schritt 3.5.2.9

Mutltipliziere

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ mit

\frac{992}{3}

$\frac{992}{3}$ .

\frac{992}{4 \cdot 3}

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.10

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

\frac{992}{12}

$\frac{992}{12}$

Schritt 3.5.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von

992

$992$ und

12

$12$ .

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Schritt 3.5.2.11.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

992

$992$ heraus.

\frac{4 (248)}{12}

$\frac{4 (248)}{12}$

Schritt 3.5.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.11.2.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

12

$12$ heraus.

\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{248}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{3 - 1}$ mit

$\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere

$1$ von

$3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck

$\frac{248}{2 \cdot 3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere

$2$ aus

$248$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \cdot 3$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Schritt 4.4

Schreibe

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ als

$\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Schreibe

$124$ als

$2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere

$4$ aus

$124$ heraus.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe

$4$ als

$2^{2}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ mit

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.7.2

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.7.3

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.7.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.7.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.7.6

Schreibe

${\sqrt{3}}^{2}$ als

$3$ um.

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Schritt 4.7.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{3}$ als

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.7.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Dezimalform:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein