Analysis Beispiele

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion $f$ in einem angegebenen Intervall $[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Sei $u = 4 x - 2$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = 4 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Differenziere $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 3.1.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 3.1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x - 2$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Schritt 3.1.3.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 3.1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x - 2$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$u_{upper} = 10$

Schritt 3.1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Schritt 3.1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 3.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Schritt 3.5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $10$ und $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 3.5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 3.5.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Schritt 3.5.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Schritt 3.5.2.5

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Schritt 3.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Schritt 3.5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Schritt 3.5.2.8

Subtrahiere $8$ von $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Schritt 3.5.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{992}{12}$

Schritt 3.5.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $992$ und $12$ .

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Schritt 3.5.2.11.1

Faktorisiere $4$ aus $992$ heraus.

$\frac{4 (248)}{12}$

Schritt 3.5.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{248}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - 1}$ mit $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{248}{2 \cdot 3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $248$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Schritt 4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{124}{3}}$ als $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Dezimalform:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein