Analysis Beispiele

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

[2, 5]

$[2, 5]$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion

f

$f$ in einem angegebenen Intervall

[a, b]

$[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\int_{2}^{5} x^{4} d x

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

\int_{2}^{5} x^{4} d x

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

Schritt 3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

x^{4}

$x^{4}$ nach

x

$x$ gleich

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ .

\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}$

Schritt 3.3

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Berechne

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ bei

5

$5$ und

2

$2$ .

(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Potenziere

5

$5$ mit

5

$5$ .

\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ und

3125

$3125$ .

\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

3125

$3125$ und

5

$5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

3125

$3125$ heraus.

\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.2.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

5

$5$ heraus.

\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.3.2.4

Dividiere

625

$625$ durch

1

$1$ .

625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Schritt 3.3.2.4

Potenziere

2

$2$ mit

5

$5$ .

625 - \frac{1}{5} \cdot 32

$625 - \frac{1}{5} \cdot 32$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere

32

$32$ mit

- 1

$- 1$ .

625 - 32 (\frac{1}{5})

$625 - 32 (\frac{1}{5})$

Schritt 3.3.2.6

Kombiniere

- 32

$- 32$ und

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

625 + \frac{- 32}{5}

$625 + \frac{- 32}{5}$

Schritt 3.3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

625 - \frac{32}{5}

$625 - \frac{32}{5}$

Schritt 3.3.2.8

625

$625$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5}

$625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5}$

Schritt 3.3.2.9

Kombiniere

625

$625$ und

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{32}{5}

$\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{32}{5}$

Schritt 3.3.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{625 \cdot 5 - 32}{5}

$\frac{625 \cdot 5 - 32}{5}$

Schritt 3.3.2.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.11.1

Mutltipliziere

625

$625$ mit

5

$5$ .

\frac{3125 - 32}{5}

$\frac{3125 - 32}{5}$

Schritt 3.3.2.11.2

Subtrahiere

32

$32$ von

3125

$3125$ .

\frac{3093}{5}

$\frac{3093}{5}$

\frac{3093}{5}

$\frac{3093}{5}$

\frac{3093}{5}

$\frac{3093}{5}$

\frac{3093}{5}

$\frac{3093}{5}$

\frac{3093}{5}

$\frac{3093}{5}$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere

\frac{1}{5 - 2}

$\frac{1}{5 - 2}$ mit

\frac{3093}{5}

$\frac{3093}{5}$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{(5 - 2) \cdot 5}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{(5 - 2) \cdot 5}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere

2

$2$ von

5

$5$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{3 \cdot 5}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{3 \cdot 5}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck

\frac{3093}{3 \cdot 5}

$\frac{3093}{3 \cdot 5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3093

$3093$ heraus.

f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere

3

$3$ aus

3 \cdot 5

$3 \cdot 5$ heraus.

f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 (5)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 (5)}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}$

Schritt 4.4

Schreibe

\sqrt{\frac{1031}{5}}

$\sqrt{\frac{1031}{5}}$ als

\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ um.

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ mit

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ mit

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ mit

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ mit

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ als

5

$5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ als

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

f_{rms} = \frac{\sqrt{1031 \cdot 5}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031 \cdot 5}}{5}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere

1031

$1031$ mit

5

$5$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Dezimalform:

f_{rms} = 14.35966573 \dots

$f_{rms} = 14.35966573 \dots$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein