Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 3]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x - 2 d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 2 x]_{1}^{3})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + - 2 x]_{1}^{3})$

Schritt 10.2

Berechne $- 2 x$ bei $3$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 10.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{4}{1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.5.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \cdot 4 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2)$

Schritt 10.3.9

Addiere $- 6$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 4)$

Schritt 10.3.10

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12)$

Schritt 11

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 12$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (6))$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6)$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 6$

Schritt 13

Gib DEINE Aufgabe ein