Analysis Beispiele

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Schritt 1

Schreibe $y = 4 x - 2$ als Funktion.

$f (x) = 4 x - 2$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 3]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x - 2 d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 2 x]_{1}^{3})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + - 2 x]_{1}^{3})$

Schritt 11.2

Berechne $- 2 x$ bei $3$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 11.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{4}{1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.5.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \cdot 4 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2)$

Schritt 11.3.9

Addiere $- 6$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 4)$

Schritt 11.3.10

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12)$

Schritt 12

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 12$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (6))$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6)$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 6$

Schritt 14

Gib DEINE Aufgabe ein