Analysis Beispiele

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ,

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$

Schritt 1

Schreibe

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ als Funktion.

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

{x | x \in R}

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

f (x)

$f (x)$ ist stetig im Intervall

[- 5, 1]

$[- 5, 1]$ .

f (x)

$f (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion

f

$f$ im Intervall

[a, b]

$[a, b]$ ist definiert als

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Schritt 7

3

$3$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

3

$3$ aus dem Integral.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

x^{2}

$x^{2}$ nach

x

$x$ gleich

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Schritt 9

Kombiniere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ und

x^{3}

$x^{3}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Schritt 10

3

$3$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

3

$3$ aus dem Integral.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

x

$x$ nach

x

$x$ gleich

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

x^{2}

$x^{2}$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Berechne

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ bei

1

$1$ und

- 5

$- 5$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Schritt 12.2.2

Berechne

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ bei

1

$1$ und

- 5

$- 5$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3

Vereinfache.

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Schritt 12.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.2

Potenziere

- 5

$- 5$ mit

3

$3$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.5

Mutltipliziere

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ mit

1

$1$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.7

Addiere

1

$1$ und

125

$125$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von

126

$126$ und

3

$3$ .

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Schritt 12.2.3.8.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

126

$126$ heraus.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.8.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3

$3$ heraus.

A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.8.2.4

Dividiere

$42$ durch

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.9

Mutltipliziere

$3$ mit

$42$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.11

Potenziere

$- 5$ mit

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

Schritt 12.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

Schritt 12.2.3.13

Subtrahiere

$25$ von

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

Schritt 12.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 24$ und

$2$ .

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Schritt 12.2.3.14.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 24$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

Schritt 12.2.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.14.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

Schritt 12.2.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

Schritt 12.2.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

Schritt 12.2.3.14.2.4

Dividiere

$- 12$ durch

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

Schritt 12.2.3.15

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 12$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

Schritt 12.2.3.16

Subtrahiere

$36$ von

$126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

Schritt 13

Addiere

$1$ und

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$6$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere

$6$ aus

$90$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 15$

Schritt 15

Gib DEINE Aufgabe ein