Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 6]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $6$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

Schritt 11.2

Berechne $2 x$ bei $6$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.2.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 11.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.6

Addiere $18$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

Schritt 11.3.10

Addiere $12$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

Schritt 11.3.11

Addiere $36$ und $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

Schritt 12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

Schritt 12.2

Addiere $6$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $6$ aus $48$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 8$

Schritt 14

Gib DEINE Aufgabe ein