Analysis Beispiele
f(x)=6x-6f(x)=6x−6 , (-1,4)(−1,4)
Schritt 1
Schritt 1.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
(-∞,∞)(−∞,∞)
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
{x|x∈ℝ}
Schritt 1.2
f(x) ist stetig im Intervall [-1,4].
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 2
Schritt 2.1
Bestimme die Ableitung.
Schritt 2.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 2.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von 6x-6 nach x ddx[6x]+ddx[-6].
ddx[6x]+ddx[-6]
Schritt 2.1.1.2
Berechne ddx[6x].
Schritt 2.1.1.2.1
Da 6 konstant bezüglich x ist, ist die Ableitung von 6x nach x gleich 6ddx[x].
6ddx[x]+ddx[-6]
Schritt 2.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass ddx[xn] gleich nxn-1 ist mit n=1.
6⋅1+ddx[-6]
Schritt 2.1.1.2.3
Mutltipliziere 6 mit 1.
6+ddx[-6]
6+ddx[-6]
Schritt 2.1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 2.1.1.3.1
Da -6 konstant bezüglich x ist, ist die Ableitung von -6 bezüglich x gleich 0.
6+0
Schritt 2.1.1.3.2
Addiere 6 und 0.
f′(x)=6
f′(x)=6
f′(x)=6
Schritt 2.1.2
Die erste Ableitung von f(x) nach x ist 6.
6
6
Schritt 2.2
Bestimme, ob die Ableitung im Intervall [-1,4] stetig ist.
Schritt 2.2.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
(-∞,∞)
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
{x|x∈ℝ}
Schritt 2.2.2
f′(x) ist stetig im Intervall [-1,4].
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 2.3
Die Funktion ist im Intervall [-1,4] differenzierbar, da die Ableitung im Intervall [-1,4] stetig ist.
Die Funktion ist differenzierbar.
Die Funktion ist differenzierbar.
Schritt 3
Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall [-1,4] stetig sein.
Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall [-1,4] stetig.
Schritt 4
Schritt 4.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von 6x-6 nach x ddx[6x]+ddx[-6].
ddx[6x]+ddx[-6]
Schritt 4.2
Berechne ddx[6x].
Schritt 4.2.1
Da 6 konstant bezüglich x ist, ist die Ableitung von 6x nach x gleich 6ddx[x].
6ddx[x]+ddx[-6]
Schritt 4.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass ddx[xn] gleich nxn-1 ist mit n=1.
6⋅1+ddx[-6]
Schritt 4.2.3
Mutltipliziere 6 mit 1.
6+ddx[-6]
6+ddx[-6]
Schritt 4.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 4.3.1
Da -6 konstant bezüglich x ist, ist die Ableitung von -6 bezüglich x gleich 0.
6+0
Schritt 4.3.2
Addiere 6 und 0.
6
6
6
Schritt 5
Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel L=∫ba√1+(f′(x))2dx.
∫4-1√1+(6)2dx
Schritt 6
Schritt 6.1
Wende die Konstantenregel an.
√37x]4-1
Schritt 6.2
Substituiere und vereinfache.
Schritt 6.2.1
Berechne √37x bei 4 und -1.
(√37⋅4)-√37⋅-1
Schritt 6.2.2
Vereinfache.
Schritt 6.2.2.1
Bringe 4 auf die linke Seite von √37.
4⋅√37-√37⋅-1
Schritt 6.2.2.2
Mutltipliziere -1 mit -1.
4√37+1√37
Schritt 6.2.2.3
Mutltipliziere √37 mit 1.
4√37+√37
Schritt 6.2.2.4
Addiere 4√37 und √37.
5√37
5√37
5√37
5√37
Schritt 7
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
5√37
Dezimalform:
30.41381265…
Schritt 8