Analysis Beispiele
,
Schritt 1
Schritt 1.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 1.2
ist stetig im Intervall .
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 2
Schritt 2.1
Bestimme die Ableitung.
Schritt 2.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 2.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.1.2
Berechne .
Schritt 2.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 2.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.1.1.3.2
Addiere und .
Schritt 2.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2.2
Bestimme, ob die Ableitung im Intervall stetig ist.
Schritt 2.2.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 2.2.2
ist stetig im Intervall .
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 2.3
Die Funktion ist im Intervall differenzierbar, da die Ableitung im Intervall stetig ist.
Die Funktion ist differenzierbar.
Die Funktion ist differenzierbar.
Schritt 3
Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall stetig sein.
Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall stetig.
Schritt 4
Schritt 4.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.2
Berechne .
Schritt 4.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 4.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.3.2
Addiere und .
Schritt 5
Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel .
Schritt 6
Schritt 6.1
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 6.2
Substituiere und vereinfache.
Schritt 6.2.1
Berechne bei und .
Schritt 6.2.2
Vereinfache.
Schritt 6.2.2.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2.3
Addiere und .
Schritt 7
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform:
Schritt 8